Три парадокса квантовой механики. Квантовый парадокс зенона Каковы отличия философии и науки

В истории развития квантовой механики было много попыток опровергнуть какие-либо из ее положений. Парадоксы возникают, когда зарождается новая область знаний. Они полезны, потому что попытки их конструктивного и содержательного объяснения углубляют понимание предмета. Однако большая часть парадоксов может быть объяснена при детальном рассмотрении и строгом математическом описании.

Парадокс Зенона

Зенон был автором нескольких апорий - рассуждений, которые, на первый взгляд, кажутся логичными, но противоречат здравому смыслу. Наиболее известным парадоксом его авторства является «Ахиллес и черепаха»: Ахиллес пытается догнать черепаху, но ему это не удается, если черепаха начала движение раньше него. Зенон объясняет это следующим образом: изначально между Ахиллесом и черепахой есть расстояние, и к тому моменту, как Ахиллес достиг положения черепахи, она уже сместилась из этой точки. Когда он пришел в следующее положение черепахи, она еще дальше сместилась, и так до бесконечности.

В рамках заданных положений парадокс объясняется так: у бесконечной суммы может быть конечный результат суммирования. Например, если мы добавляем к единице одну вторую, одну четвертую, одну шестнадцатую и так далее, то результатом суммы является конечная величина. В случае с этой апорией Зенона именно так и происходит. Однако этот факт стал понятен только со времен Ньютона, когда было сформулировано исчисление бесконечно малых величин, и, благодаря ему, мы понимаем, что расстояние между Ахиллесом и черепахой не может оставаться отличным от нуля.

Другая известная апория звучит следующим образом: летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент, то покоится она всегда. Мысль Зенона заключается в том, что состояние стрелы должно характеризоваться только своим положением в пространстве.

Разрешение второго парадокса появилось тоже после формулировки ньютоновой механики - стало понятно, что движение тел описывается дифференциальными уравнениями второго порядка, а именно: второй закон Ньютона говорит о том, что масса, умноженная на ускорение, равна силе. Ускорение - это скорость изменения скорости, это вторая производная от меняющегося во времени положения частицы. Следовательно, состояние стрелы характеризуется не только ее положением, но и скоростью в данный момент времени. Скорость определяет то, куда стрела сместится в следующий момент времени.

Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена

Одной из наиболее мистических концепций квантовой механики является ее вероятностная интерпретация - с ней спорили многие ученые. В частности, Эйнштейн вместе с Подольским и Розеном описали эксперимент, который выявляет, с их точки зрения, логическое противоречие в этой интерпретации. Существует много разных формулировок парадокса Эйнштейна - Подольского - Розена, но суть их всех одна и та же. Я расскажу об одной из стандартных формулировок, которая, однако, принадлежит не самим Эйнштейну, Подольскому и Розену.

Представим систему из двух фотонов, общая поляризация которых равна нулю, при этом оба фотона по отдельности не имеют определенной поляризации. Законы квантовой механики гласят, что в этом случае замкнутая система двух фотонов характеризуется волновой функцией, но при этом состояние каждого из фотонов по отдельности характеризуется не волновой функцией, а матрицей плотности. Говорят, что система двух фотонов описывается чистым состоянием, а каждый из фотонов по отдельности - смешанным.

Итак, фотоны отдалились друг от друга: к примеру, один из них улетел в Лондон, а второй - во Владивосток. Представим, что в Лондоне кто-то произвел измерение поляризации первого фотона. Тогда, в соответствии с законами квантовой механики, состояние первого фотона изменилось - произошла редукция его состояния. Из смешанного состояния он перешел в чистое. Например, с какой-то вероятностью он мог оказаться поляризованным в вертикальной плоскости.

Парадокс заключается в том, что в тот же самый момент, когда первый фотон в Лондоне перешел в чистое состояние, второй фотон во Владивостоке также изменил свое состояние - перешел из смешанного в чистое состояние, ровно с противоположной поляризацией. Это противоречит здравому смыслу, так как означает, что можно на расстоянии воздействовать на состояние второго фотона, тем самым нарушая принцип причинности.

Это наблюдение звучит еще более парадоксально, если учесть, что если в какой-то инерциальной системе отсчета два события одновременны, то обязательно есть инерциальная система отсчета, в которой второе событие происходит раньше первого. То есть редукция состояния фотона во Владивостоке в новой системе отсчета произойдет даже раньше того, как состояние первого фотона в Лондоне будет измерено.

Очень важно подчеркнуть, что эта ситуация отличается от эксперимента с черным и белым шарами, с которым ее часто сравнивают из-за недопонимания. В случае с шарами происходило бы следующее: два шара черного и белого цвета закрыты в коробке, и если разделить коробку пополам так, что в каждой части оказывается по шару, и отвезти одну во Владивосток, а другую в Лондон, то, открыв одну из них, мы сразу понимаем, какой шар во второй. В данном случае не было воздействия на второй шар, так как он с момента разделения коробки пополам имел определенный цвет. Ситуация с фотонами, как должно быть ясно из рассказа, совершенно другая.

Для меня полное разрешение этого парадокса все еще остается загадкой, но следует подчеркнуть, что никакого нарушения причинности в обсуждаемой ситуации не происходит именно из-за вероятностной природы квантовой механики. Дело в том, что, измеряя состояние первого фотона, мы не можем заставить его иметь ту поляризацию, которую нам захочется. В результате нашего измерения в Лондоне фотон может оказаться поляризованным тем или иным образом с какой-то вероятностью, а того, как он окажется поляризованным, мы не можем знать заранее. Соответственно, второй фотон окажется противоположно поляризованным с той же вероятностью. Поэтому для человека, наблюдающего за вторым фотоном во Владивостоке, его переход в чистое состояние с определенной поляризацией не будет являться передачей какого-то сообщения из Лондона. Однако станет ясно, что состояние первого фотона было измерено и система разомкнулась.

Парадокс кота Шредингера

Шредингер также спорил с вероятностной интерпретацией квантовой механики и в спорах на этот счет придумал следующий мысленный эксперимент: есть коробка, в которую помещены кот и специальный прибор, содержащий небольшое количество радиоактивного вещества, так что в течение часа с какой-то вероятностью может произойти распад одного из атомов этого вещества. Если распад происходит, срабатывает триггер, который запускает ток, разбивающий колбу с ядом, и яд убивает кота. Если распада не происходит, кот остается жив.

Парадокс заключается в следующем: квантовая механика утверждает, что до того, как произошло измерение, вы не знаете, распался атом или нет. Соответственно, и атом, и кот пребывают в смешанном состоянии, как пара фотонов в парадоксе Эйнштейна - Подольского - Розена. Точнее, если законы квантовой механики распространить на кота, то кот вместе с прибором и атомом составляют замкнутую систему, которая находится в чистом состоянии. При этом каждая из подсистем этой замкнутой системы характеризуется смешанным состоянием. Но что такое смешанное состояние для кота, когда он не жив и не мертв?

Фактически парадокс Шредингера в случае существования смешанного состояния кота показывал бы отсутствие параметра, по которому происходит переход от маленькой квантовой системы (коей является атом) к большой классической (такой как кот). Тем не менее такой параметр есть. Любая система - и классическая, и квантовая - характеризуется действием, и у маленькой квантовой системы действие и его градиенты сравнимы с постоянной Планка. Для большой классической системы и действие, и его градиенты намного больше этой постоянной. Например, камень (или луна) летит по определенной траектории не потому, что мы его постоянно измеряем, а потому, что коллективное движение составляющих его частиц описывается действием, градиенты которого и в пространстве, и во времени огромны по сравнению с постоянной Планка.

Итак, обсуждаемый парадокс можно решить, если вспомнить, что такое измерение в квантовой механике. Измерение - это воздействие большой классической системы (прибора) на маленькую квантовую (частицу). В данном случае кот и прибор, вместе взятые (да и по отдельности), являются большой классической системой, и измерение состояния радиоактивного атома происходит не в момент раскрытия коробки с котом, а в момент взаимодействия этой системы с частицей, которая с какой-то вероятностью распадется или не распадается. Следовательно, кот умрет или выживет еще до того, как откроется коробка.

Если вы хотите узнать больше о теоретической физике, записывайтесь на курс Эмиля Ахмедова «Теоретическая физика: от квантовой механики до теории поля», который состоится 20, 22 и 24 июня в Академии ПостНауки.

Именно в связи с открытием несоизмеримых величин в греческую математику проникло понятие бесконечности . В своих поисках общей единицы измерения для всех величин греческие геометры могли бы рассмотреть бесконечно делимые величины, но идея бесконечности приводила их в глубокое смятение. Если даже рассуждения о бесконечном проходили успешно, греки в своих математических теориях всегда пытались его обойти и исключить. Их затруднения перед явным выражением абстрактных понятий бесконечного и непрерывного, противоположных понятиям конечного и дискретного, ярко проявились в парадоксах Зенона Элейского.

Доводами Зенона были «апории» (тупики); они должны были продемонстрировать, что оба предположения заводят в тупик. Эти парадоксы известны под названием А х и л л е с, С т р е л а, Д и х о т о м и я (деление на два) и С т а д и о н. Они сформулированы так, чтобы подчеркнуть противоречия в понятиях движения и времени, но это вовсе не попытка разрешить такие противоречия.

Апория «Ахилл и черепаха» противостоит идее бесконечной делимости пространства и времени. Быстроногий Ахилл соревнуется в беге с черепахой и благородно предоставляет ей фору. Пока он пробежит расстояние, отделяющее его от точки отправления черепахи, последняя проползет дальше; расстояние между Ахиллом и черепахой сократилось, но черепаха сохраняет преимущество. Пока Ахилл пробежит расстояние, отделяющее его от черепахи, черепаха снова проползет еще немного вперед, и т.д. Если пространство бесконечно делимо, Ахилл никогда не сможет догнать черепаху. Этот парадокс построен на трудности суммирования бесконечного числа все более малых величин и невозможности интуитивно представить себе, что эта сумма равняется конечной величине.

Еще более явным этот момент становится в апории «Дихотомия»: прежде чем пройти некоторый отрезок, движущееся тело вначале должно пройти половину этого отрезка, затем половину половины, и так далее до бесконечности. Зенон мысленно строит ряд 1/2 + (1/2) 2 + (1/2) 3 +., сумма которого равна 1, но ему не удается интуитивно постичь содержание этого понятия. Современные представления о пределе и сходимости ряда позволяют утверждать, что начиная с некоторого момента расстояние между Ахиллом и черепахой станет меньше любого заданного числа, выбранного сколь угодно малым.

Парадокс «Стрела» основан на предположении, что пространство и время составлены из неделимых элементов, скажем «точек» и «моментов». В некий «момент» своего полета стрела находится в некоторой «точке» пространства в неподвижном состоянии. Поскольку это верно в каждый момент ее полета, стрела вообще не может находиться в движении.

Здесь затронут вопрос о мгновенной скорости. Какое значение следует придать отношению x/t пройденного расстояния x к интервалу времени t, когда величина t становится очень малой? Неспособные представить себе минимум, отличный от нуля, древние придали ему значение ноль. Ныне при помощи понятия предела правильный ответ находится немедленно: мгновенная скорость есть предел отношения x/t при t, стремящемся к нулю

Таким образом, все эти парадоксы связаны с понятием предела; оно стало центральным понятием исчисления бесконечно малых.

Парадоксы Зенона известны нам благодаря Аристотелю, который привел их в своей «Физике», чтобы подвергнуть критике. Он различает бесконечность относительно сложения и бесконечность относительно деления и устанавливает, что континуум бесконечно делим. Время тоже бесконечно делимо, и в конечный интервал времени можно пройти бесконечно делимое расстояние. Парадокс «Стрела», который «является следствием предположения, что время составлено из моментов», становится нелепым, если принять, что время бесконечно делимо.

Материалы к теме «Парадоксы Зенона»

(Фрагмент лекции из философского курса МГУ

Да, грациозен и быстроног могучий Ахилл, сын Пелея, герой Троянской войны, воспетый Гомером. И как неуклюжа, как тихоходна черепаха, повсюду слывущая эталоном медлительности и нерасторопности! Ей ли тягаться в скорости с легендарным бегуном? А вот античный мудрец Зенон считал, что Ахиллу ни за что не догнать черепаху. Убеждение философа основывалось на том, что когда преследующий достигнет места, где находился преследуемый в момент старта, догоняемый бегун продвинется, хотя и немного, дальше. Значит, на новом небольшом участочке пути Ахиллу снова придется догонять черепаху. Но пока преследователь добежит до этого второго пункта, беглянка снова переместится вперед. И так далее до бесконечности. Если же это будет длиться без конца и края, то как Ахиллу удастся обогнать черепаху?

С другой стороны, из собственного повседневного опыта каждый школьник знает, что он, отнюдь не будучи Ахиллом, способен запросто обогнать не только черепаху, но, чего доброго, и самого учителя - стоит только прозвучать звонку, возвещающему конец урока.

А нет ли “ахиллесовой пяты” у самих рассуждении Зенона?

В классическом курсе логики, написанном Минто, прославленный бегун легко опережает свою недостойную соперницу, хотя дает ей фору не только в расстоянии - 100 саженей (здесь употреблены старинные русские, а не древнегреческие меры длины, однако это не имеет значения), но и в скорости: он двигается не в полную силу - всего в десять раз резвее черепахи. То есть, по существу, шагает себе не торопясь, уверенный в победе. Правда, добравшись до места, откуда тронулась в путь-дорогу нерасторопная ставленница Зенона, Пелеев сын увидит, что та успела переползти еще на 10 саженей вперед. Пока Ахилл преодолеет эти 10 саженей, черепаха уйдет еще на сажень. Что ж, быстроногому ничего не стоит покрыть какую-то там сажень. А неуклюжая тем временем переместится - пусть на одну десятую сажени, но все-таки вперед, прочь от преследователя! С каждым шагом расстояние сокращается. Таких шагов будет, очевидно, бесчисленное множество. Не беда: современная математика научилась суммировать бесконечные последовательности. И Минто строит бесконечный ряд: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... Перед нами убывающая геометрическая прогрессия. Ее сумму запросто подсчитает любой теперешний школьник, если, конечно, он уже прошел алгебру по учебнику, кажется, для восьмого класса; эта сумма равна 111 1 / 9 . Проделав нехитрый подсчет, Минто заключает: “Софист хочет доказать, что Ахилл никогда не догонит черепаху, а на самом деле доказывает лишь то, что Ахилл перегоняет ее между 111-й и 112-й саженями на их пути”.

Вроде бы правильно. Вроде бы логично. Увы, торжествующий опровергатель не ответил посрамленному софисту, ибо вопрос ставился иначе: не когда, а как возможна подобная встреча...

Пусть читатель сам рассудит античного мудреца и его оппонента. Чтобы получить в ответе 111 1 / 9 сажени, вовсе не обязательно прибегать к суммированию бесконечного ряда. Можно решить задачу обычным алгебраическим путем, приняв за неизвестное путь, который проползет до момента “рандеву” пресмыкающаяся красавица, кокетливо убегающая от своего самоуверенного преследователя.

Уж коли у нас объявилось неизвестное, быть ему иксом - х. Тогда путь, промаршированный Ахиллом, окажется больше дистанции, разделявшей бегунов во время старта, на отрезок, покрытый черепахой до встречи с Ахиллом: 100 + x. Теперь вникните: время движения от старта до встречи у обоих бегунов одно и то же. А скорость у Ахилла в десять раз выше. Значит, путь, проделанный Ахиллом, будет тоже в десять раз больше, чем черепаший (х). Составляем уравнение: (100 + х) : х = 10. Подсчитайте: х = 11 1 / 9 . Столько саженей проползла черепаха? А Ахилл? 100 + x = 111 1 / 9 .

Трудно поверить, чтобы Зенон не сумел найти искомый отрезок пути подобными элементарными средствами. Еще труднее представить, что Зенон никогда никого не перегонял или не видел, как это делают другие. Нет, не зря античный мыслитель формулирует задачу так, что в ней появляется понятие о бесконечном ряде! Его не мучает сомнение: может ли тело проделать путь, составленный из кусочков? Мыслитель смущен другим: как возможен последовательный синтез бесчисленного множества отрезков, если он будет длиться вечно, так и не достигнув предела?

Не достигнув? А точка, отстоящая от старта на 111 1 / 9 сажени, - не есть ли это тот самый предел? Есть. Тот самый! Но разве вопрос сводился к тому, каков он? Нет! К тому, как переменная (в данном случае сумма ряда) достигает своего предела. И достигает ли вообще? Мы назвали сумму переменной величиной. Так оно и есть. Вспомните ряд, составленный Минто: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001. Покуда он содержит шесть членов. Их сумма равна 111,111. Это число меньше, чем 111 1 / 9 . Правда, чуть-чуть, но все-таки меньше! Разница станет еще меньше, если мы присовокупим к последовательности еще один член, седьмой: 100 + 10 + 1 + 0,01 + 0,01 + 0,001 + 0,0001. Сумма изменилась, теперь она равна 111,1111. Семь членов - семь знаков в числе - единичек, заметили? Если членов будет восемь, сумма опять удлинится на единичку: 111,11111. И так далее. Но возьмете ли вы сто, тысячу, миллиард миллиардов членов, все равно ваше число с колоссальным по длине хвостом из единиц будет меньше 111 1 / 9 . Сумма изменяется, растет, но не достигает предела. И все-таки мы умеем подсчитать предел, к которому она стремится. Делается это так. Берется формула для суммы конечного (подчеркиваем: не бесконечного!) количества членов. Она легко выводится - загляните в школьный учебник алгебры. Давайте подставим в нее характеристики нашей геометрической прогрессии. Первый член у нас 100. А знаменатель прогрессии - одна десятая (0,1) - ведь у нас каждый следующий член меньше предыдущего в десять раз. Предположим, мы хотим подсчитать сумму для 777 членов. Получим: 100/(1 - 0,1)*. Нетрудно видеть, что число перед квадратными скобками равно 111 1 / 9 . А содержимое квадратных скобок? Чуть меньше единицы. И оно будет тем ближе к единице, чем больше показатель степени у дроби 0,1, заключенной в круглые скобки. Но приглядитесь к показателю степени - это же число членов ряда плюс единичка! А теперь начинается самое интересное. Мы переходим от конечного числа членов к бесконечному. Показатель степени при (0,1) неограниченно возрастает. Что же происходит с самой степенью - с одной десятой, умноженной на себя столь многократно, что и вообразить невозможно? Она становится бесконечно малой величиной, стремящейся к нулю. А раз так, то, как написано в вашем учебнике, мы вправе ее попросту отбросить, приравняв к нулю. В квадратных скобках остается единица. Стало быть, искомый предел равен 111 1 / 9 . Но послушаем, что говорит по этому поводу математика (устами академика А. А. Маркова): “Важно заметить, что к совокупности значений бесконечно малой мы не причисляем ее предела 0”. А французский математик Мансион выражается еще недвусмысленней: “Пределом переменной мы называем постоянную величину, к которой переменная неопределенно приближается, никогда ее не достигая”. Но то же самое говорил и Зенон, облекая разве что абстрактные математические символы в яркие образы, навеянные прекрасными античными мифами! Как бы далеко мы ни шли в последовательной интеграции укорачивающихся “движеньиц” Ахилла, мы никогда не получим целиком его пути до встречи с черепахой! Как сказано у Гомера («Иллиада» в переводе Гнедича):

Сей убежать, а другой уловить пытается тщетно,

Так и герои: не тот не догонит, ни сей не уходит...

Подмеченные Зеноном трудности в строгости истолкования понятий “предел” и “непрерывность” можно проиллюстрировать на более простом примере. Представьте: у вас в комнате по полу ползет черепаха. И вдруг - Стоп! - животное уперлось носом в стенку. Путь черепахи - переменная величина, растущая до какого-то предела. Предел - стена. Вернее, точка, ограничивающая траекторию черепахи. Но эта точка не принадлежит к бесконечному множеству точек территории! Мало того: у черепашьего пути вообще невозможно определить последнюю точку - ту, где обретается черепаший нос в момент удара, ту, что предшествует предельной - точке стены. Здесь мы ненароком коснулись другой апории Зенона. Если первая в истории математики фигурирует под названием «Ахилл», то второй присвоено имя «Дихотомия». Это древнегреческое слово переводится так: “бесконечное деление пополам”. Прежде чем завершить весь путь, черепаха должна пройти его половину, говорил Зенон. Но прежде чем она достигнет середины пути, ей предстоит добраться до метки, рассекающей ладное эту половину. Однако прежде чем оставить за собой четверть пути, нужно пройти его “осьмушку”... Уф! Так можно продолжать до бесконечности. Короче, Зенон делал вывод: движение никогда не начнется!

Геометрически парадокс можно истолковать так. Мы берем отрезок и делим его напополам. Левую половину опять рассекаем надвое. Левую четвертушку - тоже надвое. Затем левую осьмушку, шестнадцатую долю, одну тридцать вторую и так далее - без конца. Не напоминает ли это погоню Ахилла за черепахой или путешествие черепахи по комнатному тупику? Только сейчас роль стены выполняет черепаший нос. Его кончик - точка покоя. А где начинается первая по счету точка движения? Ведь мы не в силах найти точку, непосредственно следующую за границей отрезка, - точно так же, как и могли определить точку, непосредственно предшествовавшую предельной в примере с черепахой, натолкнувшейся на препятствие!

Ошибка Зенона, по словам профессора С. А. Богомолова, заключается в том, что из невозможности вообразить начало движения древний философ заключил о невозможности самого движения и достоверного знания о нем. Она вполне объясняется уровнем математических знаний его эпохи и не уменьшает его заслуг. В «Дихотомии» Зенон указал на трудности постигнуть понятия “континуум” (непрерывная последовательность всех точек линии) и “движение”. Но математики давно уже привыкли к тому, что рассудок справляется с вопросами, перед которыми бессильна интуиция. И тем не менее мы должны все-таки признать, что в «Дихотомии» есть некоторый неразрешимый остаток. Речь идет о бесконечном ряде, не имеющем начала. Это все та же диалектика бесконечности, которая обретает особую остроту применительно к последовательности моментов времени.

Следующий наш перевал - «Стрела», третья апория. Третья по счету, но не по важности. Нас ждет парадокс, который слывет, по выражению профессора А. А. Богомолова, “апофеозом зеноновской диалектики”.

Движенья нет, сказал мудрец брадатый...

Это Пушкин цитирует Зенона. И продолжает:

... Другой смолчал и стал пред ним ходить.

Сильнее бы не мог он возразить.

Хвалили все ответ замысловатый.

Но, господа, забавный случай сей

Другой пример на память мне приводит:

Ведь каждый день пред нами солнце ходит,

Однако ж прав упрямый Галилей!

Пушкина цитирует писатель Даниил Данин в своей книге «Неизбежность странного мира». И продолжает: “Зенон вопрошал: - Вот летит стрела, в каждый момент ее можно где-то застигнуть, там она в это мгновенье покоится, откуда же берется движение? Значит, движение - череда состояний покоя? Не абсурд ли это?

Рассуждение было безупречно. Но и доказательство Диогена, который начал ходить, тоже было неопровержимо. Мог ли отыскаться выход из этого очевидного противоречия - движение слагается из моментов покоя? Выход должен был отыскаться и отыскался.

Для этого математика и механика должны были научиться оперировать с бесконечно малыми величинами. Они должны были научиться рассматривать состояние покоя как нулевой предел исчезающе малого перемещения. Это делает дифференциальное исчисление. И должны были научиться складывать такие нули, не удивляясь, что бесконечное - прибавление бесконечно малых движеньиц может дать вполне реальный конечный отрезок пути. Это делает исчисление интегральное. В рассуждении Зенона была заметная логическая погрешность. Он разлагал перемещение стрелы на бесконечное множество состояний покоя, а складывал их по арифметической логике конечных сумм: если взять столько-то нулей, все равно получится нуль. И потому сказал: “Движения нет”. А все дело в том, что как ни велико арифметическое “сколько-то”, оно еще не бесконечность. Диоген только молча и мог опровергнуть Зенона - словами у него ничего бы не вышло, потому что не было тогда нужных для этого слов”.

Что ж, это, пожалуй, верно, что у Диогена не нашлось бы нужных слов, дабы возразить - правда, не самому Зенону, а одному из его последователей (Зенон умер за сто с лишним лет до появления Диогена на свет). Ну, а сегодня? Что это за магические слова, каковыми-де можно парировать выпады Зенона? Очевидно, дифференциальное и интегральное исчисления, не так ли? Что ж, давайте попробуем урезонить античного смутьяна самыми могущественными аргументами математического анализа.

Лук звенит, стрела трепещет,

И, клубясь, издох Пифон...

И твой лик победой блещет,

Бельведерский Аполлон!

Сценка убийства, нарисованная Пушкиным, графически изображается баллистической кривой, а в идеале (если не учитывать сопротивления воздуха) - параболой, по которой перемещается стрела от тетивы до мишени. Координаты такие: высота подъема (вертикальная ось) и время полета (ось горизонтальная). Сейчас мы займемся дифференцированием. Как подсчитать скорость? Ясное дело как: списал километраж со спидометра и поделил на время, за которое машина проделала путь. Верно. Только так мы найдем среднюю скорость. А она наверняка менялась! Сперва автомобиль стоял - скорость была равна нулю. Потом тронулся - скорость стала нарастать, превысила дозволенный рубеж; тут раздался свисток милиционера, пришлось дать тормоз - скорость резко пошла на убыль, пока машина снова не стала как вкопанная. Если же посчитать среднюю скорость, то выяснится, что вас и штрафовать-то не за что! Однако постового не проведешь. Он, может, и не знает дифференциального исчисления, но уж в нарушениях кое-что смыслит. Как же все-таки нам определить точное значение скорости в любой момент времени?

Давайте вернемся к стреле: ее скорость описывается более простым математическим выражением. Только тут все наоборот: в момент старта с тетивы скорость стрелы (речь идет о скорости ее подъема) максимальна. В наивысшей точке трассы она равна нулю. В момент убийства Пифона снова достигает наибольшего значения. В любой момент она иная, чем раньше. Тем не менее мы можем уловить закономерность, с какой она изменяется от точки к точке.

Представьте, что полет стрелы, пущенной лучезарным богом в отвратительное чудище, отснят на кинопленку. И мы останови-ли демонстрацию фильма где-то посредине, выхватив любой кадр. К этому моменту стрела (лучше говорить об одной из ее точек, скажем, центре тяжести) поднялась на определенную высоту. Включим лентопротяжный механизм снова, но ровно настолько, чтобы перед нашими глазами застыл следующий кадр. Центр тяжести продлив свою трассу на крохотный кусочек, окажется в новой точке где высота подъема увеличилась. Обозначим это приращение высоты так “дельта эс”. А заодно символом “дельта тэ” обозначим временной интервал между соседними, кадрами. Тогда средняя скорость подъема на этом участочке пути выразится нехитрой дробью дельта s/дельта t. Обратили внимание - скорость-то у нас опять средняя! Да, но чем меньше “дельта тэ”, тем ближе значение нашей дроби к истинной скорости в первой точке. Если бы затвор киноаппарата при съемке щелкал бы в тысячу раз чаще то промежуток времени между двумя соседними кадрами сократился бы тоже ровно в тысячу раз. Значение “моментальной” скорости стало бы точнее. И все же до тех пор, покуда наша долька временной оси будет конечной (не бесконечно малой) величиной, отношение “дельта эс” к “дельта тэ” дает лишь среднюю скорость между двумя моментами. А что, если сделать “дельта тэ” бесконечно малым? Иными словами, представив вторую точку трассы подвижной, теснить и теснить ее к жестко сидящей первой точке? Тогда “дельта тэ” устремится к нулю. “Дельта эс” тоже. А их отношение? Оно станет все точнее и точнее передавать значение скорости стрелы в момент времени, запечатленный на первом кадре. Но лишь в пределе она окажется мгновенной скоростью в тот самый момент. Этот предел отношения при дельта t, стремящемся к нулю, изображается двухэтажным знаком “дэ эс по дэ тэ” и называется производной функцией (в нашем случае производной от пути по времени). (ds и dt называются дифференциалами (от латинского слова “разница”).)

Приведенное построение можно повторить применительно к любой точке нашей кривой. Впрочем, не обязательно только нашей, а вообще любой кривой. Конечно, вид производной будет неодинаковым для разных кривых, не говоря уже о том, что ее значение меняется от точки к точке у каждой кривой. Но теперь мы знаем закон поведения производной: она меняется так же, как и угол наклона касательной к кривой в данной точке. И геометрический смысл произведений - тангенс этого угла. Ведь что такое наши “дельта эс” и “дельта тэ”, как не катеты прямоугольного треугольника! Треугольник построен на гипотенузе с теми самыми краевыми точками, которые отмечали положение центра тяжести стрелы на обоих кадрах. Когда же мы начали сдвигать эти соседние точки, гипотенуза слилась с касательной.

Так вот: отыскав производную, мы продифференцировали функцию - в нашем случае уравнение параболы. Зная производную, мы можем найти и первоначальную (первообразную) функцию, то есть проделать обратную операцию - интегрирование. Приемы дифференцирования и интегрирования едва ли сложнее алгебраических правил. Но нас сейчас волнует не это. Какой смысл таится в дроби ds/dt ? Здесь и числитель и знаменатель вроде бы... нули! Но ведь отношение нулей - абсурд!

Чтобы разобраться в парадоксе, придется снова совершить экскурс в прошлое и ответить на вопрос: а сумел ли Ньютон отразить “стрелу”, пущенную Зеноном? Не постигла ли его детище - анализ бесконечно малых - злая участь Пифона, убиенного Аполлоном Бельведерским?

24 августа 1624 года в Париже должен был состояться публичный диспут. Но перед самым открытием дискуссии один из ее устроителей, де Клав, был арестован. Другому, Виллону, пришлось скрыться. Специально изданный парламентский указ гласил: запретить полемику; в торжественной обстановке перед лицом собравшихся разорвать в клочья заранее объявленные тезисы; всех организаторов выслать в 24 часа за пределы города, лишив их права вообще въезжать в столичный округ; строго-настрого запретить профессорам любое упоминание крамольных тезисов в лекциях.

Всяк, кто устно или печатно нарушит сей рескрипт, подлежит смертной казни... Четырнадцатый тезис разорванной программы диспута провозглашал атомистическую доктрину. В нем черным по белому значилось, что Аристотель, то ли по невежеству, то ли по злому умыслу, высмеял учение, согласно которому мир состоит из атомов. Между тем-де это мировоззрение как нельзя лучше соответствует разумным основам подлинной натурфилософии...

Но при чем тут Зенон? Речь-то шла об идеях Демокрита!

Атомистика Демокрита была реакцией на выпады элейской школы, во главе которой стоял Зенон. Интересно и важно: Демокрит был апостолом атомизма не только в физике, но и в математике. Причем обосновывал необходимость атомистического миросозерцания ссылкой не на физические явления, отнюдь, а на чисто математические затруднения, возникающие в том случае, если считать пространство непрерывным. В дозеноновском естествознании все тела считались беспредельно делимыми. Это с одной стороны. А с другой - допускалось, что каждый предмет состоит из бесчисленного множества непротяженных и далее неделимых “телец”. На эти-то противоречивые принципы и обрушился Зенон.

Если тело делимо беспредельно, говорил он, то оно должно быть бесконечно большим. Как бы далеко ни заходило дробление, всякий раз будут получаться протяженные частицы, размеры коих никогда не обратятся в нуль. Поскольку же деление бесконечно, постольку и геометрических “атомов” будет бесчисленное множество! А если так, то сумма бесконечно большого количества протяженных и далее неделимых элементов окажется неизмеримо огромной. Если же, наоборот, точка как предел деления не имеет размеров, то сложение любого, сколь угодно большого количества таких “нулей” никогда не даст протяженного тела!

Логическая диверсия Зенона произвела ошеломляющее впечатление. Ученые всполошились; всем стало ясно, что теоретические основы геометрии продуманы недостаточно глубоко, внутренне противоречивы и несостоятельны.

Вот тогда-то, среди обломков, оставшихся после разрушительной деятельности элеатов, школа Демокрита и принялась восстанавливать теоретически фундамент геометрии. Приклеив единомышленникам Зенона ярлык “афизиков” (“лжеученых”), она попросту отмахнулась от их дьявольских искушений. Предел делимости материи и пространства был провозглашен сызнова. Так в ответ на сугубо негативную элейскую критику появилась позитивная платформа, на которой можно было - худо ли, бедно ли - дальше возводить храм математики и механики. Но тут Аристотель взял и торпедировал эту конструктивную платформу! Что ж, он был по-своему прав: ведь противоречия, подмеченные Зеноном, делали позиции Демокрита очень и очень шаткими...

Более полутора десятков столетий довлели над наукой аристотелевские идеи.

Лишь в эпоху позднего Возрождения ученые возвысили свой голос против схоластических догм. Даже невзирая на то, что, посулив особо рьяным критиканам смертную казнь, французский парламент тем самым приравнял авторитет Платона и его ученика Аристотеля к авторитету евангелия... Идея непрерывности, противоречившая повседневной интуиции, была отринута мыслителями эпохи Возрождения. В своих «Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых отраслей науки», Галилей рассуждает о бесконечно малых промежутках между отдельными бесконечно малыми участками прямой. Из письма Кавальери к Галилею явствует, что оба они, как, впрочем, и Кеплер, контрабандой вынашивали идею “неделимого”. А взгляды Кеплера и Кавальери, предтеч Ньютона в создании новой математики, - чистейшей воды геометрический атомизм!

“Непосредственная и непрерывающаяся связь между математическим атомизмом древности и нынешним дифференциальным и интегральным исчислением не подлежит сомнению, - говорит профессор С. Я. Лурье в книге «Теория бесконечно малых у древних атомистов». - Историю метода бесконечно малых следует начинать не с Кавальери, а с Демокрита”.

Итак, исчисление бесконечно малых было построено на атомистическом фундаменте. Но тогда, выходит, парадоксы Зенона остались непреодоленными? Вспомните наше недоумение с дифференциалами: что это - нули или не нули? Какой смысл таится в дроби, где и числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю? Этот вопрос глубоко волновал другого создателя анализа - Лейбница, немецкого коллегу Ньютона. Обозначение ds/dt, введенное Лейбницем, рассматривалось как отношение бесконечно малых величин - дифференциалов (ds и dt. Эта символика до сих пор смущает любого из нас, когда мы принимаемся штудировать дифференциальное исчисление. Из выражения: предел дельта s/дельта t = ds/dt, стремящемся к нулю, - невольно напрашивается вывод, будто “дельта тэ” стремится сразу к двум пределам: к dt, отнюдь не равному нулю, и в то же время к нулю, а “дельта эс” к ds и к нулю! А все потому, что перед нами “ископаемые останки” атомистической эпохи в математике. Стоит допустить, что кривая составлена из мельчайших “атомов”, как пределом для приращения “дельта эс” или “дельта тэ” будет уже не нуль, то есть ничто, а высота или ширина этой неделимой геометрической крупицы: ds или соответственно dt. Теперь, с позиций Лейбница, безо всяких ухищрений легко поддается уразумению и равенство: предел дельта s/дельта t = ds/dt. Ибо при атомистичесском подходе предел дельта s равен ds, а предел дельта t равен dt. Вот именно: при атомистическом. При том самом, который в пух и прах был разнесен еще Зеноном. При том самом, от которого давным-давно уже ушла матемачика. Ну, а сегодня, когда математика вновь стоит на позициях непрерывности, тоже кстати зело подорванных Зеноном? Дают ли о себе знать коварные аргументы элеатов?

Откройте прекрасную книгу Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика». Там сказано: дифференциалы как бесконечно малые величины из математического обихода изгнаны окончательно и не без позора. И все же сам термин “дифференциал” прокрался обратно через черный ход. Он как ни в чем не бывало по-прежнему фигурирует в обозначениях, сохранившихся до сего времени и сбивающих с толку ds/dt.

Правда, сегодня в dt математики видят не бесконечно малую величину, а конечное приращение “дельта тэ”. Что же касается ds/dt, то эта “дробь” в целом стала просто символом результата, который получается при переходе к пределу: действительно, прежде чем переходить к пределу, можно избавиться от будущего “нуля” в знаменателе. Для этого числитель дроби ds/dt раскрывают; ведь за этим символом стоит обычная алгебраическая разность. Разность между двумя выражениями одного и того же математического закона, но для двух разных точек кривой. В формуле разности появляется сомножитель “дельта тэ”. Тот же самый, что стоит в знаменателе! А раз так, то и числитель и знаменатель можно сократить на “дельта тэ”. Ведь это не возбраняется до тех пор, пока “дельта тэ” не равно нулю. Так “дельта тэ” исчезает из знаменателя. Правда, в формуле для числителя после сокращения остается еще одно “дельта тэ”. Но потом, когда мы переходим к пределу, это второе “дельта тэ” обращается в нуль. Так - сложно ли, просто ли - но для каждой функции удается ловким маневром миновать нелепость: ds/dt=0/0. Конечно, Ньютон и Лейбниц тоже умели находить интегралы и производные такими способами. Но они не признавали за предельной процедурой исключительного права служить опорой новых методов. Они рассуждали примерно так: да, интеграл и производную можно вычислить как пределы. Но чем же, черт побери, являются эти понятия сами по себе?

Вот, к примеру, наклон кривой. Он существует сам по себе, независимо от хитроумного геометрического построения, сопровождавшегося предельным переходом. То же самое можно сказать и об интеграле, который истолковывается как площадь плоской фигуры, ограниченной осями координат и нашей кривой: мол, такое понятие, как площадь, имеет некий абсолютный “смысл в себе”, и вроде бы нет надобности привлекать вспомогательные операции с пределами.

Иначе рассуждают современные математики.

“Ни Ньютон, ни Лейбниц, - говорится в книге Р. Куранта и Г. Роббинса, - не смогли занять ту отчетливую позицию, которая нам кажется простой и естественной теперь, когда понятие предела полностью выяснено. Их пример господствовал больше столетия, в течение которого сущность дела была затемнена бесплодными рассуждениями о “бесконечно малых величинах”, о “дифференциалах” и т. д. Считалось, что такие понятия доступны лишь немногим избранным, обладающим настоящим математическим чутьем, и что анализ поэтому, по существу, очень труден, так как не всякий обладает этим чутьем или может его развить. Интеграл, аналогичным образом, рассматривался как сумма “бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых”. Существовало представление, будто такая сумма есть интеграл, или площадь, в то время как вычисление ее значения как предела последовательности конечных сумм обыкновенных слагаемых рассматривалось как некий придаток. Теперь мы попросту отбрасываем желание “непосредственно” объяснить интеграл и определяем его как предел последовательности конечных сумм. Этим путем все трудности и устраняются, и все, что ценно в анализе, приобретает твердую основу”.

/ Парадокс Зенона, или Ахилл и черепаха

Описание парадокса

Быстроногий Ахилл хочет поймать черепаху, которая находится на расстоянии 1 км от него. К тому времени, когда Ахилл добегает до того места, где первоначально находилась черепаха, та успевает уползти вперед на 10 м. За то время, которое требуется Ахиллу, чтобы пробежать эти 10 м, черепаха снова успевает уползти на какое-то расстояние. Черепаха: «Где тебе догнать меня, старина! Каждый раз, когда ты добежишь до того места, где я была, я успею уползти на какое-то расстояние вперед, хоть на толщину волоса!»

То есть какое бы расстояние ни оставалось между Ахиллом и черепахой, на преодоление этого расстояния, разумеется, потребуется некоторое время, а за это время черепаха продвинется еще вперед. В этой логике нет изъяна, но она самым очевидным образом противоречит нашему опыту.

Психопатический метод «решения»

Очень развит психопатический метод «решения» проблемы, причем прибегают к нему не только конченые эзотерики, но и ученые. Вот, например, «решение», предложенное одним академиком (!): «…на теоретическом уровне проблемы ограниченности, неограниченности, конечности, бесконечности, исчерпаемости, неисчерпаемости являются системными вопросами, и ответ на них на этом уровне не может носить абсолютного характера даже при наличии (абсолютного) ответа на уровне феноменологическом. Время необходимо рассматривать как совокупность разноуровневых потоков времени (с разной длиной волны, разными корпускулами), при этом движение точки тоже рассматривается как многоуровневое: разные ее аспекты перемещаются в разных потоках времени. Это позволяет снять парадоксальность апорий Зенона на пространственном уровне, перемещая ее на более высокие».

Как похоже на то, что пишут эзотерики, когда не могут (и не хотят) разбираться в своих восприятиях!

После того, как все это написано, автор формирует в себя уверенность в том, что он решил этот вопрос. А если кто-то не согласен — пусть попробует что-то возразить на сказанное им! А как возразишь, когда там просто бред? Возражать можно лишь на нечто осмысленное.

Метод чистого вытеснения

Самый распространенный среди думающих людей.

Иногда человек просто… вытесняет наличие парадокса! И считает это решением — это распространенный способ. Например пишут так: «… этот парадокс можно сформулировать более точно так: «Ахиллес никогда не догонит черепаху за время, меньшее двух секунд после начала состязания»! И уже не сама апория, а математические выкладки подскажут нам, что ровно через две секунды Ахиллес окажется в той же точке, что и черепаха. И никакого противоречия с опытом! Парадоксальность снята, противоречия в теории нет. Евклидова геометрия и классическая механика находятся вне зоны критики со стороны апорий.»

То есть автор попросту «забыл» о том, что проблема-то возникает тогда, когда мы с одной стороны делаем то, что сделал он — то есть просто делим расстояние на скорость и получаем время, за которое Ахилл догонит черепаху. А с другой стороны мы следуем столь же неопровержимой логике, столь же подтверждаемой на опыте, что для преодоления любого расстояния требуется время. Эта часть парадокса словно забыта, и возникает «решение». Довольно показательно, что вслед своему решению автор (тоже академик) забивает гвоздь бравурными гимнами — эти ПЭ должны помочь читателю вытеснить то, что проблема нерешена.

Метод посылания на толстый математический ххх

Самые умные ученые используют «доказательства» такого рода: «Многие специалисты согласились со знаменитым анализом парадоксов Зенона, данным Бертраном Расселом. По мнению Рассела, парадоксы Зенона не были удовлетворительно решены вплоть до появления теории бесконечных множеств Георга Кантора. Теория Кантора позволяет рассматривать бесконечные множества (будь то множества точек на прямой или мгновений времени) не как набор изолированных индивидуальных точек и событий, а как нечто целое. Суть парадоксов Зенона и состоит как раз в том, что ни пространственные отрезки, ни временные промежутки недопустимо рассматривать как состоящие из бесконечно большого числа дискретных членов, изолированных друг от друга, как следы на снегу. Решение парадоксов Зенона требует теории типа канторовской теории множеств, в которой наши интуитивные представления об отдельных точках и индивидуальных событиях объединены в систему — последовательную теорию бесконечных множеств.»

Здесь делается простой ход: хочешь понять «решение»? Иди в университет на математический факультет. Естественно, что многие люди думают: «ну, естественно, математика чертовски сложная наука, мне ее не осилить за всю жизнь, но математики, видимо, знают, что говорят, ведь математика — точная наука, и созданные с применением математики приборы работают».

Интересно, что те, кто окончил математические и физические факультеты, думают так: «да, это точно там можно все понять, но я-то учил все это поверхностно, чтобы экзамены сдать, и потом у нас был краткий курс, но те чистые математики, которые всю жизнь свою посвятили матанализу, теории функций и прочему, вот они-то уж конечно понимают, что этот парадокс как-то там решается».

Громкие слова про Рассела, Кантора, «многих специалистов» гипнотизируют даже самих математиков не хуже, чем домохозяек.

Между тем, математика — очень условно «точная наука», так как базируется на догмах. Да, приборы работают. Телевизор показывает, компьютер пиндюрит вовсю. Боле того, с помощью математических методов можно предсказать открытие новой планеты (и ее находят), новой элементарной частицы (и ее находят) и т.п. Но вот ЧТО ИМЕННО из этого следует? Это большой вопрос. Ведь наше общество, одним из кирпичиков в фундаменте которого является концепция о том, что старших надо уважать, что НЭ невозможно не испытывать — оно тоже живет, развивается, жиреет, технологии вон какие. Но что из этого следует?

Если взять как догму, что «старших надо уважать», отсюда уже несложно вывести, что маме надо почаще звонить и чаще ее слушаться и т.д. В математике — то же самое. Берется некая догма (причем иногда в этом отдается отчет, и тогда такую догму называют «аксиомой», но чаще всего в этом отчета и не отдается!), из которой впоследствии делаются более или менее непротиворечивые выводы.

Решение проблемы с парадоксом

(Обрати внимание — параграф называется не «решение парадокса», а «решение проблемы с парадоксом»)

На мой взгляд, решение проблемы с парадоксом крайне просто. Во-первых, необходимо признать, что Ахилл несомненно догонит и обгонит черепаху — это подтверждается и нашим повседневным опытом (ведь я могу обогнать черепаху), и той логикой, которая выводится из этого опыта — если умножить скорость Ахилла на необходимое время, то получившееся пройденное им расстояние будет больше, чем необходимо для того, чтобы догнать черепаху. Во-вторых, с той же уверенностью необходимо признать, что логика, согласно которой он никогда ее не догонит, совершенно верна, и также подтверждается нашим повседневным опытом, ведь в самом деле — преодоление любого расстояния требует некоторого времени. Отсюда — элементарный вывод: пространство не является совокупностью бесконечно малых частичек. Чем именно оно является? На этот вопрос вообще нет ответа и быть не может. Мы можем лишь сказать, что использование тех или иных представлений о пространстве и времени позволяют иногда нам предсказывать результаты экспериментов, создавать работающие приборы и т.д. Но у каждого представления есть свои пределы, переходя которые мы перестаем получать непротиворечивые результаты. Вот и все.

То есть пока Ахилла и черепаху (или их проекции) разделяет значительное расстояние (километр, метр, миллиметр), противоречий нет, парадокса нет. Но как только расстояние между ними (или их проекциями) сократится до так называемых квантовых величин, то логика бесконечного деления пространства уже не может быть применимой, и их дальнейшее движение необходимо уже рассматривать с позиций квантовой теории, так как мы начинаем рассматривать их перемещение на квантовые расстояния.

Вроде бы, это вполне ясно, и многие физики так и скажут в ответ на вопрос «что такое электрон» — «мы не знаем, что такое электрон, но у нас есть совокупность моделей, применение которых позволяет строить предположения, предсказывать результаты опытов, строить работающие приборы». Но перенести ту же ясность на нашу с вами обыденную жизнь, на наше с вами вот это такое обыденное пространство и время — этого как правило не получается. И свидетельством этому как раз и является то, что на протяжении тысяч (!!) лет толпы ученых так и не пришли к вот такому ясному решению: оба способа рассуждать верны в том смысле, что применяя их в разных областях мы получаем устраивающие нас результаты, тем не менее пространство не является совокупностью мелких частичек пространства, а вопрос «чем же оно является» попросту лишен смысла — на него невозможно ответить, не прибегнув к очередной модели, у которой опять таки обнаружатся свои границы применимости.

Требуется некоторое усилие искренности, и видимо — какое-то огромное усилие, чтобы изменить свою механическую уверенность в том, что пространство и время — что-то простое и ясное, и сменить ее на ясность в том, что это нечто таинственное. Желание довольства, обыденности перевешивает даже в случае воображаемого «чистого мышления», не говоря уже о том, что чем в большей степени человек считает себя ученым, умным, математиком, физиком, тем в большей степени он приходит в бешенство от того, что не может дать вразумительного объяснения, в то время как все остальные вроде как все «понимают». Круговая порука самообмана — обычное дело среди людей.

Последствия

Интересно, что Зенон, найдя такое противоречие, мог бы легко сделать вывод о том, что фактически он доказал, что пространство не является бесконечной совокупностью бесконечно малых частичек. Идея Кантора о том, что бесконечная сумма бесконечно малых может являться конечным числом (что якобы решает парадокс Зенона), не является «решением» парадокса, так как «решить» его вообще нельзя — тут просто нечего решать. Просто Кантор сказал — давайте «преодолеем» парадокс тем, что просто возьмем и докажем — бесконечная сумма бесконечно малых может являться конечным числом.

И доказать это совсем несложно — если взять 10 минут, за которые по расчетам скоростей Ахилл должен догнать черепаху, и разделить вторую половину пополам, а потом еще пополам и т.д. до тех пор, пока Ахилл не приблизится к черепахе бесконечно близко, то мы получим бесконечное число интервалов времени, каждый из которых короче предыдущего в 2 раза. Но если их сложить, то в сумме получатся те же исходные 10 минут. Это показывает, что суммы бесконечного количества величин могут быть конечны. Правда, при этом необходимо добавить, что сам математический аппарат суммирования бесконечных рядов допускает некоторые вольности со словом «бесконечность», без которых мы и не смогли бы никак получить этот результат. То есть в данном случае получается все наоборот — исходя из того, что мы точно уверены в том, что Ахилл догонит черепаху, мы и вводим в теорию бесконечных рядов (зачастую не отдавая себе в этом отчета) те аксиомы, которые и позволяют нам в итоге вывести то, что бесконечное сложение бесконечного ряда даст конечное число.

И такого рода «доказательство» никак не влияет на логику о том, что для преодоления определенного пространства требуется определенное время… На эту логику вообще никак, ничем повлиять нельзя, потому что она выражает наш несомненный опыт. То есть «доказательство» Кантора — все та же уловка вытеснения.

Парадокс Зенона доказывает, что гипотеза, согласно которой пространство является совокупностью бесконечно малых величин, ограничена в области своего применения, т.е. пространство не является такой совокупностью. Значит — вполне вероятно — что появится другая вполне обоснованная и рабочая теория, что пространство является совокупностью конечного числа частичек конечного размера, но сам характер взаимодействия этих частичек (вернее теории, описывающей это взаимодействие) будет чем-то в высшей степени необычным. Именно таковой и стала квантовая теория вкупе с теорией относительности, где с одной стороны размер элементарной частицы конечен, а с другой стороны в этой теории появились такие «чудеса», как квантовые скачки, принцип неопределенности, постоянная Планка, неизменность скорости света и пр. И согласно квантовой теории парадокс Зенона теряет свой смысл, так как черепаха не может продвинуться на бесконечно малое расстояние в силу того, что оно попросту отсутствует, как и отсутствует бесконечно малое количество энергии — в квантовой теории есть квант энергии, есть квант пространства, и части этого кванта не существует. Разумеется, это не означает, что мы не будем вынуждены придумать затем вслед новую теорию, которая будет устранять противоречия квантовой — так и произошло, и теперь есть теория кварков. А потом появилась теория суперструн. А потом появятся еще новые теории, которые будет устранять противоречия предыдущих, но тем не менее ответ на вопрос «что такое пространство, время, энергия и прочее» будет всегда одним и тем же — это неизвестно. Известно лишь, что оно не тождественно тем представлениям, которые мы используем, чтобы предсказывать новые открытия и строить работающие приборы.

Я считаю, что этот пример с парадоксом Зенона может облегчить достижение ясности в том, что описание мира, модель мира не тождественна самому этому миру. Когда ученый говорит «есть такая модель атома, что электрон крутится вокруг ядра», он, не отдавая себе в этом отчета, продолжает все-таки верить в то, что там что-то вокруг чего-то вертится.

Модификации

Можно придумать сколько угодно модификаций данного парадокса. Например такой: «поскольку летящая стрела в каждый момент времени покоится в определенной точке пространства, то она покоится все время, иными словами, она неподвижна, значит движения нет». Верно то, что стрела летит. Верно и то, что в каждый момент времени она находится в определенной точке пространства — зная ее скорость и время ее полета мы можем рассчитать эту точку. Значит — снова непреодолимое противоречие двух… МОДЕЛЕЙ. Отсюда вывод — пространство — это не то, что состоит из неких «точек», несмотря на то, что модель «точек пространства» очень удобна и функциональна. То же можно сказать и о времени = время — это не то, что состоит из «точек времени».

Любопытный вопрос

Мог ли Зенон, поразмыслив над своим парадоксом и добившись ясности в причинах его существования, предложить — в каком направлении может двинуться наука, чтобы те новые модели, которыми она будет оперировать, позволили бы обойти этот парадокс? Ведь если мы делаем вывод, например, что пространство не является бесконечной совокупностью бесконечно малых «точек», значит может быть в будущем в результате последующего развития технологий и получения новых экспериментальных данных возникнет такая модель, в которой существует минимальный квант пространства. Но «просто минимальный» квант не может быть составной частью новой, более совершенной модели, так как мы немедленно столкнемся с противоречиями в уже существующих логиках, которые ежедневно подтверждаются нашим опытом. Значит — должно быть попутно введено и такое необычное взаимодействие между ними, которое позволило бы преодолеть это противоречие. И ведь так и произошло — возникла квантовая теория и теория относительности с их квантами энергии, постоянной Планка, постоянством скорости света, принципом неопределенности, преобразованием Лоренца и всеми прочими деталями этих моделей, которые в итоге и позволили, с одной стороны, объяснить новые, необъяснимые ранее явления (начиная с фотоэффекта), а с другой стороны так состыковаться со старыми моделями, чтобы каждой нашлось свое место, своя ниша в общей картине мира.

Но нам сейчас трудно, да наверное просто невозможно абстрагироваться от всего того, что мы уже знаем о квантовой, кварковой, струнной теории вещества, поэтому этот мысленный эксперимент не может быть чистым и не так интересен. Гораздо интереснее другое — не можем ли мы взять существующее и поныне непреодолимое противоречие в каких-то моделях, и попробовать предположить — какие именно открытия будут совершены в будущем, которые приведут к созданию таких представлений, которые помогли бы избежать этого противоречия? И это сделать мы можем.

Картинка для привлечения внимания, но относящаяся к теме.
Привет, хабр!
Хотите немного размять свои мозги? «Жили-были древние греки. Хорошо жили, потому что вместо них трудились рабы. И было древним грекам очень скучно: работать не привыкли, заняться нечем. Смастерили лиру для музицирования, придумали театр, геометрию, математику, философию и прочие науки, а развлечений всё равно не хватало.
И тут на помощь страждущим пришёл Зенон Элейский с его так называемыми апориями - парадоксами, предназначенными для изрядной нагрузки на мозги современников.

Современники возрадовались: теперь можно было не просто бездельничать, а долго и упорно размышлять над предложенными парадоксами, которые, к тому же, отчасти оправдывали лень».

В самом деле, если движения не существует в принципе, то зачем зря стараться, куда-либо идти и что-то делать, достаточно просто лежать на травке под акациями и мудрствовать лукаво над тайнами Вселенной.
Заинтересовало? Добро пожаловать под хабракат (привёл несколько ссылок на учебники квант.физики).
Почему движения не существует? Сие умозаключение проистекает из знаменитого парадокса, названного «стрела Зенона». Суть в том, что стрела в полёте остаётся неподвижной в каждый отдельно взятый момент времени. Как на фотографическом снимке. Значит, на самом деле… никуда не летит. А если и летит, то только с точки зрения наблюдающих за ней.

В 1958-м году в СССР о данном парадоксе вспомнил Леонид Халфин. В отличие от древних греков, Халфин занимался делом - исследовал вопросы квантовой физики. И выдвинул совершенно мистическую гипотезу. Сначала перескажу её «птичьим» языком. При условии дискретности энергетического спектра , распад квантовых состояний зависит от частоты измерений напрямую. Если наблюдать за нестабильной частицей достаточно часто, то она не распадётся вообще.

Теперь - нормальным языком. Если на нестабильную частицу никто не смотрит, то она обижается от отсутствия внимания к своей персоне и распадается. Но не распадётся до тех пор, пока хоть кому-нибудь интересна. Ибо сам факт наблюдения способствует продлению существования наблюдаемой сущности. Стрела Зенона является летящей до тех пор, пока мы видим, как она летит.

Через двадцать лет американцы решили продолжить исследования своего советского коллеги. В частности, физики Джордж Сударшан и Байдьянат Мизра. Именно они в 1978-м обозначили явление как «Квантовый парадокс Зенона», назвав так свою статью. А в 1989-м поползли слухи о том, что сей эффект якобы подтверждён экспериментально. Видимо, кто-то очень долго пялился на кванты, не позволяя им кануть в небытие.

Оказывается, действию эффекта подвержены не только квантовые состояния чего бы то ни было, но даже распад радиоактивных частиц. Якобы частица то ли распадается медленнее, то ли становится вообще вечной, если рядом с ней поместить счётчик Гейгера или подобный датчик.

Жаль, не хватило датчиков, дабы завалить ими Чернобыльскую АЭС и таким образом ликвидировать последствия аварии…"

Вот так пишут гуманитарии для гуманитариев. Про выводы я помолчу, если захотите, сами прочитаете
Но там вспомнили про то, что Тесла верил в теорию эфира, говорят, что она верна, что теорию относительности ещё не доказали и что один никому не известный советский учёный всё уже доказал: «Учёные просто зарабатывают на коллайдере».

Ох, в действительности, подобное поведение следует из уравнения Шрёдингера.
Если рассматривать вероятность распада радиоактивной частицы, как мы привыкли: w=1 - exp(-t/T), то вероятность распада, если мы измеряем N раз - не меняется.
w=1 - exp(-t/NT)^N=1 - exp(-t/T).
Если же мы будем рассматривать поведение волновой функции в том же процессе, используя уравнение Шрёдингера, то мы увидим зависимость от числа измерений. Более того, при устремлении числа измерений к бесконечности (непрерывном измерении) частица не будет распадаться.

Есть ещё более простое объяснение, без математики, следующее из работ Джона фон Неймана, в частности из гипотезы о существовании редукции фон Неймана(коллапс волновой функции) . Это явление мгновенного изменения волновой функции при измерении на собственный вектор.
Поэтому, если часто производить измерения, время на то, чтобы изменить состояние уменьшается, квантовая частица остаётся в своём состоянии.

К примеру, частица может перейти в возбуждённое состояние, тогда наблюдение уменьшит вероятность перехода.
Более сложный и интересный пример: атом переходит из возбуждённого состояния (1) в ещё более высокоэнергетичное (2), откуда может перейти в основное состояние (3) с испусканием фотона определённой частоты. Даже возможность наблюдать этот фотон, не обязательно его наблюдение, говорит о том, что чем вероятнее переход 2-3, тем менее вероятен переход 1-2. Можете прочитать это

Эффект может быть применим для «заморозки» атома в нужном квантовом состоянии, чтобы квантовый компьютер мог считывать информацию, возможно использование для производства коммерческих атомных магнитометров.
Многие считают этот эффект основой мышления людей и уникальной особенности птиц ориентироваться по магнитному полю Земли.
Говорят, группа учёных решила его применить для передачи информации быстрее скорости света.
Кто-то мечтает с его помощью защищать информацию от прочтения третьими лицами. Про это вы можете прочитать, пройдя по этой ссылке. Вообще, это почти неисчерпаемая тема, ведь эта тема имеет множество отсылок к другим темам и говорить об этом можно почти бесконечно.
Спасибо за внимание.
UPD: Спасибо пользователю sheknitrtch за показ ошибки и за перессылку её в диалоги.