Канторович теории оптимального использования ресурсов кратко. О теории оптимальных механизмов распределения ресурсов
Live Journal
Facebook
TwitterПервые научные результаты были получены Л.В. Канторовичем в дескриптивной теории функций и множеств, в частности в теории проективных множеств. В 1939 г. ученый опубликовал работу «Математические методы организации и планирования производства». В ней он описал основные типы экономических задач, поддающиеся открытому им математическому методу, положив тем самым начало линейному программированию.
В 1949 г. Л.В. Канторович стал лауреатом Государственной премии СССР «За работы по функциональному анализу», в 1958 г. — был избран членом-корреспондентом АН СССР (экономика и статистика), а в 1964 г. — академиком АН СССР Он являлся одним из основателей Сибирского отделения АН СССР. В 1960 г. переехал в Новосибирск, где руководил Лабораторией по применению математических и статистических методов в экономических исследованиях и планировании, а также преподавал в Новосибирском университете. В 1965 г. ученый удостаивается Ленинской премии, затем становится почетным доктором многих университетов мира.
Свой путь в науке Канторович начинал как математик, но известность в науке он получил именно как математик-экономист, когда сформулировал и предложил решение задач, получивших название «задачи линейного программирования». В 1959 г. была опубликована работа, которую ученый считал главной: «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов».
Но не все его предложения находили понимание у высших представителей власти. Поэтому в Академии наук СССР была создана специальная лаборатория по применению математики в экономике во главе с академиком B.C. Немчиновым. В 1965 г. Л.В. Канторович вместе с В.В. Новожиловым и B.C. Немчиновым стал лауреатом Ленинской премии за развитие математико-экономического направления. После этого нападки на Канторовича резко сократились, хотя не желавшие использовать оптимизационные методы руководители разного уровня остались. Здесь сказался еще непознанный тогда закон поведения экономических систем, обоснованный профессором К.А. Смирновым в 80-х гг.
В плановой экономике утвержденный план работы любой экономической системы (ЭС) становился законом. А оптимальный план, уже по самому его определению, был напряженным, в нем отсутствовали скрытые резервы, которые руководителям экономических систем все же удавалось находить.
В 1975 г. за разработку задачи линейного программирования и метода ее решения Л.В. Канторович был награжден Нобелевской премией с формулировкой «За разработку методов эффективного использования ресурсов».
В целом вклад ученого в науку можно коротко охарактеризовать следующим образом:
1) он впервые обратил внимание на то, что разнообразные проблемы можно сформировать как задачи оптимизации и предложил общий подход к их решению. Это задачи по загрузке оборудования, по раскрою материалов, распределению культур по площадям, транспортная задача;
2) создал теорию оптимального народно-хозяйственного планирования — по сути дела предложил модель рыночного социализма. Ввел новые показатели — разрешающие множители, объективно обусловленные оценки, двойственные оценки — эти показатели дают возможность отбирать проекты для составления оптимального плана, согласовывать народно-хозяйственные интересы с интересами отдельных экономических систем (хозяйственных единиц);
3) разработал систему оптимального планирования, которая вступила в противоречие с господствовавшей тогда трудовой теорией стоимости. Представители этой теории не признавали вводимые Канторовичем ограничения не только на объем труда, но и на объемы других невоспроизводимых ресурсов (земля, полезные ископаемые). Кроме того, задача разработки оптимального плана требовала для решения вычислительные средства большой мощности. Рекомендации, вытекавшие из теории оптимального планирования, предполагали использование оценок оптимальных цен, которых не было в реальности, — действовали цены, не балансировавшие спрос и предложение. Существовала и проблема глобального критерия, который должен учитывать интересы разных групп населения и экономических систем (предприятий, отраслей).
Л.В. Канторовича можно считать основоположником науки об управлении и принятии управленческих решений, основная задача которой — применение естественно-научного метода к анализу задач организационного управления с тем, чтобы снабдить тех, кто управляет, оптимальными решениями.
Развивая идею оптимальности в экономике, он установил взаимозависимость оптимальных цен и оптимальных производственных и управленческих решений и пришел к выводу, что каждое оптимальное решение взаимосвязано с оптимальной системой цен. Работая над общей теорией приближенных методов, он предложил эффективные способы решения операторных уравнений (в том числе метод наискорейшего спуска и метод Ньютона для таких уравнений).
Работы Л.В. Канторовича (он автор более 110 научных трудов) посвящены оптимизации организации и планирования производства, линейному программированию, экономической кибернетике, экономическим показателям, ценообразованию. Среди трудов ученого особо выделяют: «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» (1959), «Динамическая модель оптимального планирования» (1964), «Математика и экономика — взаимопроникновение наук» (1977, совместное М.К. Гавуриным).
Неоспоримым вкладом в теорию и практику оптимального планирования стало открытие Канторовичем методов линейного программирования. Предложив новый математический аппарат для экономической науки, он впервые поставил задачу хозяйственного планирования как задачу оптимизации. Именно за решение этой и других задач в 1975 г. ему совместно с американским экономистом Т. Купмансом была присуждена Нобелевская премия по экономике.
Л.В. Канторович также выявил необходимость введения оценок для всех видов затрачиваемых производственных факторов при составлении производственных планов. В связи с этим он предложил классификацию производственных факторов, выделяя четыре группы:
1) пропорционально зависимые (определенное количество шин для автомобиля);
2) неизменно расходуемые (охрана, управленческие расходы и т.д.);
3) нелимитирующие (избыточные);
4) существенно переменные, т.е. факторы, имеющиеся в ограниченном количестве, расход которых на единицу продукции зависит от организации и технологии производства. Наиболее значительными факторами являются рабочая сила, природные ресурсы и производственные площади.
В предложенной ученым системе экономических расчетов дефицитные ресурсы получают высокую оценку, а имеющиеся в избытке — нулевую. Система экономических расчетов, использующая объективно обусловленные оценки, позволяет на основе определения дефицитности, лимитированности и задолженности производственных факторов найти такой вариант их использования, который бы обеспечил при данных ресурсах максимальное выполнение программного задания с учетом ассортимента.
Особенно важным является вопрос о наилучшем использовании оборудования. Здесь ученый ввел весьма ценное понятие «прокатной оценки» — ренты с оборудования. Он писал: «Мы употребляем термин "прокатная оценка", так как это есть оценка той платы, которая была бы оправдана, если бы такая машина бралась на некоторый срок напрокат (в аренду). Можно ее рассматривать также как ренту с оборудования, которую мы хотя и не оплачиваем, но исчисляем ее возможный размер». Таким образом, если не использовать в течение дня данную машину, значит, потерять определенную сумму денег и, следовательно, количество труда, которые соответствуют прокатной оценке, а ее использование, напротив, позволит сэкономить эту же сумму. Например, Л.В. Канторович рассчитал, что использование каждого машино-дня дает экономию в себестоимости в сумме 600 руб., т.е. использование каждой лишней машины позволяет сэкономить в день 600 руб., а не использование приводит к потере этих 600 руб. В данном случае 600 руб. — это и есть прокатная оценка.
С вопросом о рациональном использовании оборудования тесно связана и проблема рационального использования природных ресурсов. Последние всегда ограниченны, поэтому значительное внимание ученый уделял теории дифференциальной ренты. Величина ренты определяется, как он утверждал, той экономией труда, которую дает использование этих источников в оптимальном плане. Рентные оценки, по его мнению, позволяют измерить стоимость использования природных ресурсов, в частности земли, воды, воздуха и т.д. Эта идея намного опередила свое время. Однако в конце 1930-х гг. она пришла в противоречие с концепцией общенародной собственности на природные ресурсы, из которой вытекало, что к ним не применимы стоимостные показатели, так как они выделялись «даром». Двойственные оценки материальных ресурсов были расценены как попытка подменить трудовую основу стоимости понятием полезности или дефицитности. Сам же Л.В. Канторович рассматривал созданную им теорию как научную базу для всей системы народно-хозяйственных расчетов.
Проблеме динамического программирования ученый посвятил свою работу «Динамическая модель оптимального планирования» (1964). Он впервые построил оптимальные статичные и динамические модели текущего и перспективного планирования. К постановке и анализу динамических задач он пришел, анализируя недостатки статичной оптимизации. Многие задачи оптимизационного программирования расчленяются, как известно, на этапы (шаги), и для их решения весьма эффективным является метод динамического программирования, развитый впоследствии Р. Беллманом и его школой. Следует отметить, что использование динамических экономико-математических моделей стало практиковаться в нашей стране лишь с середины 1960-х гг.
Обобщая сказанное, отметим, что Л.В. Канторович — яркий представитель петербургской математической школы, созданной талантливейшим русским математиком П.Л. Чебышевым (1821 — 1894), умевшим элементарными средствами получать фундаментальные результаты, связывать проблемы математики с принципиальными вопросами естествознания и техники, впервые доказавшим в теории вероятностей действие закона больших чисел (в общей форме), а в теории чисел — асимптотический закон распределения простых чисел и др.
|
|
До середины ХХ в. экономисты-теоретики игнорировали математические модели исследования. Однако, несмотря на притеснения, математики продолжали работать и достигли блестящих результатов. Среди них - представители математической школы Л. Канторович и Т.-Ч. Купманс.
Канторович (Kantorovich) Леонид Витальевич (1912-1986) - советский экономист, лауреат Нобелевской премии (1975).
Теория оптимального распределения ресурсов - теория, которая предусматривает формулирование статистической и динамической моделей текущего и перспективного планирования использования ресурсов на базе новых математических подходов в сфере системного построения экономических показателей, используемых для анализа ценообразования, эффективности капитальных вложений.
Впервые основы теории оптимального распределения ресурсов он изложил в работе «Математические методы организации и планирования производства» (1939). В ней он представил принципиально новый класс экстремальных задач с ограничениями, разработав эффективный метод их решения. Именно в это время ученый сформулировал задачу составления плана и системы цен как взаимозависимых компонентов неделимой двойственности. Ведь время невозможно одновременно минимизировать издержки и максимизировать результаты. Одновременно эти два подхода взаимосвязаны: если найдем оптимальную схему перевозок, то ей соответствует определенная система цен. Если определим оптимальные значения цен, то сравнительно легко получить схему перевозок, что соответствует требованиям оптимальности.
Основой этой теории является метод линейного программирования. Линейное программирование - решение линейных уравнений (уравнений первой степени) путем сложения программ и внедрения разных методов их последовательного решения, что существенно облегчает расчеты и достижение результатов.
Л. Канторович обосновал экономическую сущность предлагаемых им решающих множителей. Они, собственно, являются предельными стоимостями ограничивающих факторов. То есть это объективные цены каждого из факторов производства относительно условий конкурентного рынка. Для решения задачи на оптимальность ученый использовал метод последовательных приближений, последовательного сопоставления вариантов с выбором наилучшего в соответствии с условиями задачи.
Задачи линейного программирования были известны еще в конце ХVIII в. Однако начали решать их только после публикаций работ Л. Канторовича. В США исследования по линейному программированию начались только в конце 40-х годов ХХ в. Транспортная задача Хичкока и симплекс-метод Данцига, которые близки по характеру к методу решения задач линейного программирования Канторовича, были разработаны на десятилетие позднее.
Целостность мышления проявлялась во всем творчестве Канторовича. Идеи линейного программирования были тесно связаны с его методологическими установками в области математики. В середине 1930 годов центральное место в математических исследованиях Канторовича занимал функциональный анализ.
Труды Канторовича заложили фундамент теории оптимального планирования социалистической экономики, вплоть до конца 80-х годов широко используемой в практике планирования экономического развития в СССР, а также в других социалистических странах. Основные идеи теории оптимального планирования изложены в монографии "Экономический расчет наилучшего использования ресурсов" (1959, 1960), являющейся наиболее известной работой ученого. Стержнем этой книги являлась формулировка основной задачи производственного планирования и динамической задачи оптимального планирования. Указанные задачи формулировались достаточно просто, но они учитывали основные черты планирования в советской экономике.
Похожая информация:
- amp; 1. Понятие следственного эксперимента, его видыи значение
Князева А., Лыкова Н.П.
ГОУ ВПО «Российский государственный гуманитарный университет»
Филиал в г. Самаре
постановка Задач линейного программирования и их решение с помощью msexcel
Временем рождения линейного программирования принято считать 1939г., когда была напечатана брошюра Леонида Витальевича Канторовича "Математические методы организации и планирования производства". Поскольку методы, изложенные Л.В.Канторовичем, были мало пригодны для ручного счета, а быстродействующих вычислительных машин в то время не существовало, работа Л.В.Канторовича осталась почти не замеченной.
Свое второе рождение линейное программирование получило в начале пятидесятых годов с появлением ЭВМ. Тогда началось всеобщее увлечение линейным программированием, вызвавшее в свою очередь развитие других разделов математического программирования. В 1975 году академик Л.В.Канторович и американец профессор Т. Купманс получили Нобелевскую премию по экономическим наукам за "вклад в разработку теории и оптимального использования ресурсов в экономике".
Было осознано, что надо научиться решать задачи о нахождении экстремумов линейных функций на многогранниках, задаваемых линейными неравенствами. По предложению Купманса этот раздел математики получил название линейного программирования.
Американский математик А. Данциг в 1947 году разработал весьма эффективный конкретный метод численного решения задач линейного программирования (он получил название симплекс метода). Идеи линейного программирования в течении пяти шести лет получили грандиозное распространение в мире, и имена Купманса и Данцига стали повсюду широко известны.
Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии ограничений в виде линейных уравнений или линейных неравенств относятся к задачам линейного программирования.
Линейное программирование - наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования.
Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк:
задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;
задача о смесях (планирование состава продукции);
задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или "задача о рюкзаке");
транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).
Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.
В общем виде модель записывается следующим образом:
целевая функция: F(x)= c 1 x 1 + c 2 x 2 + ... + cnxn → max(min) (1)
ограничения:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n xn {≤ = ≥} b 1 ,
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n xn {≤ = ≥} b 2 , (2)
a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn xn {≤ = ≥} b m ;
требование неотрицательности: x j ≥ 0, j = 1, 2,……, n (3)
При этом a ij , b i , c j (I = 1, 2, ….., m; j = 1, 2,……, n) - заданные постоянные величины .
Задача состоит в нахождении оптимального значения функции (1) при соблюдении ограничений (2) и (3).
Систему ограничений (2) называют функциональными ограничениями задачи , а ограничения (3) - прямыми .
Вектор, удовлетворяющий ограничениям (2) и (3), называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования. План, при котором функция (1) достигает своего максимального (минимального) значения, называется оптимальным .
Задачи линейного программирования можно решать вручную, т.е. алгебраически и графически, а можно при помощи MS Excel. Эта программа позволяет быстро и легко решить задачи линейного программирования.
Разберём решение таких задач на конкретном примере:
На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в таблице. В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.
| Вид корма | Ежедневное количество корма усл. ед. | Общее количество корма, усл.ед. | |
| Прибыль от реализации одной шкурки, руб. | |||
Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной.
Запишем математическую модель:
Х шт – лисицы, У шт - песцы
16x+12y - max (1)
Решение данной задачи аналитически сводится к решению системы из трёх неравенств (2-4), выражая значение одной переменной через другую получаем:
х 90 – 1,5у
4(90 – 1,5у) + у 240
6(90 – 1,5у) + 7у 426
х 1 54 х 2 4,5
у 1 24 у 2 57
причём х 2 и у 2 не удовлетворяют решению, т.к. количество зверей не может быть дробным числом.
Следовательно, целевая функция будет равна: 1152
Однако, с помощью MS Excel решение гораздо проще и быстрее.
Для решения задачи в MS Excel, необходимо создать таблицу с исходными данными (рис. 1)
Рис.1 – Таблица с исходными данными (задача на оптимизацию производства)
Затем с помощью встроенных функций MS Excel (=СУММПРОИЗВ) ввести ограничения и целевую функцию (рис.2)
Рис. 2 – ограничения и целевая функция
После того, как все ограничения и целевая функция введены, следует воспользоваться встроенной программой MS Excel Поиск решения (рис. 3), в которой также вводятся целевая функция, ограничения, а также изменяемые ячейки (т.е. неизвестные переменные).
Рис. 3 – Поиск решения
Однако прежде чем приступить к решению необходимо также во вкладке параметры поиска решения задать: линейная модель, неотрицательные значения и автоматическое масштабирование (рис. 4)
Рис. 4 – Параметры поиска решения
После завершения ввода всех ограничений и параметров мы получаем искомое решение задачи (рис. 5)
Рис. 5 – Итоговая таблица, с полученным решением
На практике многие экономические параметры (цены на продукцию и сырье, запасы сырья, спрос на рынке, заработная плата и т.д.) с течением времени меняют свои значения. Поэтому оптимальное решение задачи ЛП, полученное для конкретной экономической ситуации, после ее изменения может оказаться непригодным или неоптимальным. В связи с этим возникает задача анализа чувствительности задачи ЛП, а именно того, как возможные изменения параметров исходной модели повлияют на полученное ранее оптимальное решение.
Связывающие ограничения проходят через оптимальную точку. Несвязывающие ограничения не проходят через оптимальную точку. Ресурс, представляемый связывающим ограничением, называют дефицитным, а ресурс, представляемый несвязывающим ограничением, – недефицитным. Ограничение называют избыточным в том случае, если его исключение не влияет на область допустимых решений и, следовательно, на оптимальное решение.
Выделяют следующие три задачи анализа на чувствительность.
1. Анализ сокращения или увеличения ресурсов:
1) на сколько можно увеличить или уменьшить запас дефицитного ресурса для улучшения оптимального значения ЦФ?
2) на сколько можно уменьшить или увеличить запас недефицитного ресурса при сохранении полученного оптимального значения ЦФ?
2. Увеличение (уменьшение) запаса какого из ресурсов наиболее выгодно?
3. Анализ изменения целевых коэффициентов: каков диапазон изменения коэффициентов ЦФ, при котором не меняется оптимальное решение?
MS Excel позволяет делать отчет по результатам, который состоит из 3 таблиц:
1 – Целевая ячейка. В ней отображается начальное значение целевой функции и оптимальное (результат).
2- Изменяемые ячейки. В ней отражены исходные значения переменных и результирующие (оптимальные). Если продукт не входит в оптимальное решение (равен 0), то он считается не рентабельным.
3- Ограничения. Кроме имени ограничения, ячейки, в которую вписана левая часть ограничения, в ней отображены столбцы:
Значение – значение левой части ограничения при оптимальном плане. Т.е. сколько фактически использовано ресурса.
Формула – отображается знак ограничения (больше или равно, меньше или равно и т.д.)
Статус – отображено Связанное или не связанное ограничение. Если статус связанное, то ресурс использован полностью. Если же статус – не связанное, то ресурс использован не полностью.
Разница – отображено количество оставшегося не использованным ресурса.
А также отчет по устойчивости, который состоит из 2 таблиц:
1 – изменяемые ячейки. Кроме имени переменных и адресов ячеек в ней присутствуют столбцы:
Результирующее значение – это оптимальный план.
Нормированная (редуцированная) стоимость – показывает, на сколько изменится целевая функция после принудительного включения единицы этой продукции в оптимальный план. Если продукт рентабелен, то нормированная стоимость будет равна 0.
Целевой коэффициент – значения коэффициентов целевой функции.
Допустимое увеличение, допустимое уменьшение – показывает границы изменений коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение.
2 – Ограничения. Кроме имени переменных и адресов ячеек в ней присутствуют столбцы:
Результирующее значение - значение левой части ограничения при оптимальном плане. Т.е. сколько фактически использовано ресурса.
Теневая цена – изменение целевой функции при изменении дефицитного ресурса на 1 единицу. Теневая цена недефицитного ресурса будет равна 0.
Ограничение Правая часть – запас ресурса.
Допустимое увеличение, допустимое уменьшение - показывает, на сколько можно изменить правую часть ограничения до того момента пока это будет влиять на целевую функцию.
Удобство использования MS Excel для решения задач линейного программирования заключается в том, что:
создав один раз таблицу, её можно применять для задач такого же типа изменяя только исходные данные;
все необходимые для решения задачи формулы уже представлены в MS Excel;
решение задачи занимает в несколько раз меньше времени, нежели её же решение вручную;
точность решения гораздо выше, чем вручную, а погрешности сведены к минимуму.
Единственным минусом решения задач линейного программирования с помощью MS Excel может быть: отсутствие полного решения, т.е. поиск решения сразу выдаёт готовый ответ, не показывая все вычисления, что в принципе не является целью решения задачи.
Список литературы:
А.Г.Трифонов. Примеры решения оптимизационных задач // 2008
Попова Н.В. Математические методы // М.:ВТК. – 2005
Лыкова Н.П., Князева А ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ИХ РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ MS EXCEL // Научный электронный архив.
URL: (дата обращения: 26.12.2019).
«В 1937 г. директором НИИ математики и механики, созданного при университете в 1932 г., стал В. И. Смирнов, который передал руководство отделом математики Л. В. Канторовичу . С этой новой должностью были связаны большие изменения во всей его жизни. Всё началось с обычной научной консультации производственникам.
В 1938 г. к Канторовичу обратились сотрудники Фанерного треста, изучавшие способы повышения полезной загрузки производственных мощностей. По математической классификации у них возникла экстремальная задача - задача на максимум некоторой простой функции от большого числа переменных. Консультируя их, Леонид Витальевич сразу увидел (это просто), что классические методы решения в этой задаче не могут дать эффективного решения. Он разработал и предложил новый, более эффективный метод. В основе его метода было использование специальных величин (множителей), обобщающих хорошо известные в математике множители Лагранжа . Но сама консультационная задача была только толчком к исследованиям. Канторович стал думать о похожих ситуациях и вскоре увидел многочисленные применения таких моделей и таких методов в различных экономических и технико-экономических ситуациях. Анализируя свойства упомянутых множителей в этих моделях, он провёл замечательные аналогии между множителями и экономическими показателями, специфичными для конкретных моделей, своего рода «внутренними ценами» экономических ситуаций, даже таких ситуаций, в которых цен не было. Интересно, что к похожим выводам (без использования математических моделей) пришёл примерно в то же время и ленинградский экономист Виктор Валентинович Новожилов (1892-1970).
Попытаюсь объяснить, что же мог сделать в экономике математик, не владевший даже правильным (и ужасным, по-моему) экономическим языком. Начнём с практического вопроса, одного из тех, которые задавал себе Канторович. Предприятие может увеличить выпуск своей продукции, увеличив при этом себестоимость (то есть затраты на единицу продукции). Выгодно ли это делать, и если да, то в какой мере? Советская экономическая наука и практика отвечали на этот вопрос отрицательно: ни в коем случае.
Как же ответил на этот вопрос Канторович? Если рынок нуждается в данной продукции и платит за неё больше себестоимости данного предприятия, то увеличение выпуска выгодно, вопреки тогдашним экономическим воззрениям. Размер спроса на продукцию устанавливает её граничную («маргинальную») цену и соответствующую ей граничную себестоимость. Выгодно любое производство, себестоимость в котором меньше этой границы. Сейчас это очевидно и элементарно (если в рассмотрение не входят более сложные факторы).
В советские времена «рыночные аргументы» были противопоказаны, а слово «маргинальный» (или «маржинальный») запрещено. Кроме того, объём выпуска продукции диктовался планом, и связывать его с выгодностью не рекомендовалось. Но и в такой ситуации можно позаботиться об эффективности. Представим себе, что данную продукцию выпускают несколько предприятий и себестоимости у них различны и зависят от объема выпуска. И в этом случае найдётся граничное значение себестоимости, определяющее эффективные объёмы выпуска: ни у одного предприятия себестоимость не должна превышать этого граничного значения, а с меньшей себестоимостью предприятие выпускает продукцию только в случае, когда рост её производства невозможен. Это, конечно, самый простой из подобных вопросов. Но уже в нём появляется новый важный показатель - граничная себестоимости продукции. Всё дело в таких показателях. Канторович установил, что такие вспомогательные показатели возникают во многих случаях, где приходится делить ограниченные ресурсы. Они возникают из математического анализа задачи, но оказываются очень полезными для экономического исследования практической ситуации, так как всегда им можно придать ясный (хотя и непривычный) экономический смысл.
Одна из рассмотренных Канторовичем ситуаций - транспортная задача. В ней нужно определить, откуда, куда и сколько везти, если заданы сбалансированные объёмы производства и потребления однородного продукта. Возникающие показатели трактуются как транспортные цены продукта во всех пунктах сети, а перевозка идет только по тем направлениям, где стоимость перевозки равна разности этих цен в пунктах назначения и отправления, причём меньше этой разности стоимость нигде не будет - так уж устроены цены. Получающиеся транспортные цены зависят от конкретной задачи. Они не связаны с условиями производства, но подсказывают экономисту, где при данном спросе и данном наборе себестоимостей выгодно увеличить производство, а где его желательно уменьшить.
В мае 1939 г. Канторович сделал в университете доклад о своих результатах, и с поразительной оперативностью издательство ЛГУ выпустило этот доклад отдельной брошюрой осенью того же года. Почти сразу же Канторович стал работать над развернутым изложением своей теории. Эта работа продолжилась и во время войны. […]
Леонид Витальевич добился того, что в Москве в Госплане СССР было организовано совещание, на котором он изложил свои идеи, но отрицательный итог этого совещания был предопределён. Канторович вспоминал: «Всё говорило о том, что необходимо на определённое время оставить эти работы. Их продолжение становилось опасным - как я узнал впоследствии, мои предположения были небезосновательными. Вариант моей изоляции всерьёз обсуждался».
Разумовский И.В., Л.В. Канторович: «Разумное обобщение даёт больше, чем детальное исследование, в Сб.: Знаменитые универсанты: очерки о питомцах Санкт-Петербургского университета, Том 3, СПб, «Знаменитые универсанты», 2005 г., с. 461-462.
Как известно, в практике хозяйственной деятельности выбор между различными вариантами (планами, решениями) предполагает поиск наилучшего. Когда хозяйка отправляется на рынок для закупки мяса, а проектировщик стремится найти оптимальный способ размещения станков, они занимаются поисками вариантов, требующих минимума затрат или максимума результата с учетом определенных ограничений (денег, ресурсов, времени).
Решить подобную задачу бывает непросто, особенно при наличии большого числа вариантов. Время и затраты при выборе оптимума не всегда оправданны: издержки поиска и перебора вариантов могут превысить достигнутый выигрыш.
Как показывает практика, опыт и интуиция оказываются недостаточными для обоснования оптимального решения.
138
Более надежный и эффективный способ - использование мате-матических (количественных) подходов и расчетов. Однако математические подходы и обоснования длительное время игнорировались теоретиками, делавшими “погоду” в экономической науке. Многие важные работы были заморожены, публикации экономистов-математиков тормозились и ограничивались. И все же в тот период математические изыскания продолжались, даже в условиях гонения на математиков были достигнуты блестящие результаты.
Одним из наиболее значительных и ярких достижений в области экономико-математических исследований было открытие Леонидом Витальевичем Канторовичем (1912-1986) Метода линейного программирования. Линейное программирование - решение линейных уравнений (уравнений первой степени) посредством составления программ и применения различных методов их последовательного решения, существенно облегчающих расчеты и достижение искомых результатов.
За разработку метода линейного программирования, или, как сказано в дипломе Шведской академии наук, за “вклад в теорию оптимального распределения ресурсов”, Л. В. Канторович - единственный из советских экономистов - был удостоен Нобелевской премии по экономике (1975 г.). Премия была присуждена ему совместно с американским экономистом Тьяллингом Чарльзом Купмансом; который несколько позже, независимо от Канторовича, предложил сходную методологию.
Разработка линейного программирования началась с поиска решения практической задачи. К Канторовичу обратились инженеры фанерного треста с просьбой найти эффективный способ распределения ресурсов, обеспечивающий наиболее высокую производительность оборудования. Работники предприятия ломали голову над тем, как при пяти станках, восьми видах сырья обеспечить оптимальный вариант выпуска фанеры. Иными словами, нужно было найти решение конкретной технико-экономической задачи с целевой функцией (“функциона-лом”) - максимизировать выпуск готовой продукции.
Заслуга Канторовича в том, что он предложил математический метод выбора оптимального варианта. Решая частную задачу наиболее рациональной загрузки оборудования, ученый разработал метод, получивший название метода линейного программирования. По сути дела, он открыл новый раздел в ма-тематике, получивший широкое распространение в экономи-
139
ческой практике; способствовавший развитию и использование электронно-вычислительной техники.
Канторович не был “чистым” экономистом, но прекрасно понимал, какое значение имеет метод максимизации при ограниченных ресурсах, а значит, и создание математической основы для решения типичных хозяйственных задач.
Условия задачи на оптимум и цель, которая должна быть достигнута, могут быть выражены с помощью системы линейных уравнений. Поскольку уравнений меньше, чем неизвестных, задача обычно имеет не одно, а множество решений. Найти же нужно одно, согласно терминологии математиков, экстремальное решение.
В задаче по оптимизации выпуска фанеры Канторович представил переменную, которую следовало максимизировать в виде суммы стоимостей продукции, производимой всеми станками. Ограничители были представлены в форме уравнений, устанавливающих соотношения между всеми затрачиваемыми в производстве факторами (древесиной, клеем, электроэнергией, рабочим временем) и количеством выпускаемой продукции (фанеры) на каждом из станков. Для показателей факторов производства были введены коэффициенты, названные разрешающими множителями, или мультипликаторами. С их помощью разрешается поставленная задача. Если известны значения разрешающих множителей, то искомые величины, в частности, оптимальный объем выпускаемой продукции, могут быть срав-нительно легко найдены.
Канторович обосновал экономический смысл предложенных им коэффициентов (разрешающих множителей). Они представляют не что иное, как предельные стоимости ограничивающих факторов. Иначе говоря, это объективно значимые цены каждого из факторов производства применительно к условиям полностью конкурентного рынка.
Для решения задачи на оптимум Канторович использовал метод последовательных приближений, последовательного сопоставления вариантов с выбором наилучшего в соответствии с условиями задачи.
Допустим, требуется решить транспортную задачу, обосновать наиболее рациональное распределение грузопотоков. Для примера, всего нужно перевезти 180 т груза из трех источников к трем потребителям, общий спрос которых также равен 180 т. Сложность в том, что груз распределен неравномерно: у одного поставщика имеется 50 т, у другого - 60, у третьего - 70 т.
140
Также неравнозначен спрос потребителей, он составляет соответственно 40, 85 и 55 т. Неодинаковы и расстояния (плечи) перевозки грузов - от 1 до 6 км. Задача заключается в том, чтобы составить такой план перевозок, который отвечал бы требованию минимизации грузооборота (минимальному коли-честву тонно-километров).
Как решить эту задачу? В повседневной практике менеджеры могут заняться монотонной работой по длительному перебору возможных вариантов. Постепенно они смогут прийти от плана перевозок, скажем, 750 т/км к плану 655 т/км. Поиск потребует массу усилий, значительного количества расчетов. Главное же, трудно установить, какой из предлагаемых вариантов” является оптимальным. Допустим, найден вариант плана с грузооборотом в 575 т/км. Но остается неизвестным, есть ли еще один или несколько более выгодных вариантов плана, требующих меньших затрат.
Задача становится совсем неразрешимой, если перейти от сравнительно простой схемы к постановке задания по состав-лению варианта перевозок одного или нескольких продуктов (угля, цемента, стройматериалов) в масштабе региона или страны. Даже в случае укрупнения, агрегирования исходных по-казателей (количество отправителей и получателей массовых трудов) окажется, что только сетевая схема будет охватывать десятки тысяч агрегированных пунктов, а расчеты и сопостав-ление вариантов потребуют проведения такого количества операций, для осуществления которых придется привлечь чуть ли не все население России.
Впервые работа, в которой излагалась сущность предложенного Канторовичем метода, была опубликована в 1939 г. под названием “Математические методы организации планирования производства”. Продолжая исследования, ученый разрабатывает общую теорию рационального использования ресурсов.
В период Великой Отечественной войны Канторович, будучи профессором Военно-морской инженерной академии в блокадном Ленинграде, обосновывает, опираясь на метод линейного программирования, оптимальное размещение производственных и потребительских факторов. Подготовленная им в 1942 г. книга “Экономический расчет наиболее целесообразного использования ресурсов”, к сожалению, в тот период не была опубликована.
Позже издается одна из наиболее крупных его работ “Экономический расчет наилучшего использования ресурсов” (1959).
141
В этой книге, как отмечали члены Научного совета по применению математики в научных исследованиях и планировании, представлен углубленный анализ идей линейного прграммирования, разработанного автором ранее, и вместе с тем впервые ставится проблема разработки оптимального плана всего народного хозяйства как математической модели39.
Несомненной заслугой Канторовича является выявление двойственных оценок в задачах линейного программирования Нельзя одновременно минимизировать затраты и максимизировать результаты. Одно противоречит другому. Вместе с тем оба этих подхода взаимосвязаны, если, скажем, найдена оптимальная схема перевозок, то ей соответствует определенная система цен. Если найдены оптимальные значения цен, то сравнительно нетрудно получить схему перевозок, отвечающую требованию оптимальности.
Для любой задачи линейного программирования существует сопряженная ей, или двойственная, задача. Если прямая задача заключается в минимизации целевой функции, то двойственная - в максимизации.
Двойственные оценки дают принципиальную возможность соизмерять не только ценовые, затратные показатели, но и полезности. При этом двойственные, взаимосвязанные оценки соответствуют конкретным условиям. Если изменяются условия, то изменяются и оценки. В известной мере поиск оптимума - это определение общественно необходимых затрат, учитывающих, с одной стороны, трудовые, стоимостные затраты, а с другой стороны, общественные потребности, полезности продукта для потребителей.
При знакомстве с работами по линейному программированию можно встретиться с некоторыми терминологическими тонкостями. Первоначально использованный Канторовичем термин “разрешающие множители” в последующих работах получает несколько иную интерпретацию и другую формулировку, а именно объективно обусловленные оценки. Эти оценки не произвольны, их величины носят объективно обусловленный характер, они задаются конкретными условиями задачи. Значения объективно обусловленных оценок годятся только для данной задачи,
Канторович предлагал рассчитывать их при разработке планов; на эти показатели призваны опираться предприятия при расчете затрат и объемов выпуска тех или иных видов продукции. Объективно обусловленные оценки корректируются в
142
зависимости от соотношения спроса и объемов производства. Такого рода расчеты, внедренные в практику планирования и управления, призваны оптимизировать использование ресурсов.
Идеи и предложения, выдвигавшиеся Канторовичем, предусматривали использование в практике хозяйствования рыночных категорий. По сути, в то время шел поиск, формировались предпосылки концептуальной основы реформирования существующей экономической системы.
При активном участии Канторовича и его ближайших коллег и друзей - Виктора Валентиновича Новожилова (1892- 1970), Василия Сергеевича Немчинова (1894-1964) во, второй половине 50-х - начале 60-х гг. формируется отечественная экономико-математическая школа. Все трое продолжали разработку методов линейного программирования, строили экономические модели, перейдя затем к разработке системы мо-делей, получивших название СОФЭ (системы оптимального функционирования экономики).
- Ндфл исчисленный и удержанный – в чем разница 6 ндфл исчисленный налог меньше удержанного
- Механизм сложных периодических расчетов
- История изменений регистрации в налоговой инспекции собственной компании
- Что такое средний заработок и когда он применяется
- КУДиР: страшный зверь или важный документ?
- 1 требуется доначисление перерасчет
- Алгоритм выполнения задания