Применение теоремы Гаусса для расчета электрических полей. Kvant

Эта теорема представляет собой только следствие закона Кулона и принципа суперпозиции электрических полей. Вот её формулировка:

Поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме электрических зарядов, заключённых внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную  0 .

Доказательство теоремы начнём с простейшего случая: вычислим поток вектора напряжённости поля точечного заряда Q .

Напряжённость этого поля хорошо известна (см. 1.3)

Учитывая сферическую симметрию поля, выберем вначале в качестве гауссовой замкнутой поверхности сферу радиусом r , с центром в той точке, где находится зарядQ (рис. 2.5., 1). Поток вектора напряжённости через эту поверхность вычислить легко

Здесь мы учли, что:

Рис. 2.5.

Учитывая последнее замечание, запишем поток (2.7) в следующем виде:

(2.8)

Таким образом, для первого простейшего случая теорема Гаусса оказалась справедливой. Что из этого следует?

Полученный результат позволяет заключить, что найденный поток не зависит от радиуса гауссовой поверхности. Это легко понять: ведь с увеличением расстояния от заряда Q площадь поверхностирастёт пропорционально квадрату радиуса, а напряжённость поляубывает обратно пропорционально квадрату радиуса.

Вспомним, кроме того, что поток вектора напряжённости равен числу силовых линий, пронизывающих гауссову поверхность. Независимость потока от радиуса поверхности означает, что силовые линии поля точечного заряда, начинаясь на положительном заряде, простираются далее до бесконечности, не прерываясь. Отсюда - дальнейшие выводы.

Поток вектора напряжённости поля точечного заряда через любую замкнутую поверхность (рис. 2.5, 2),охватывающую точечный заряд Q , равен отношению

Этот вывод несомненен, так как поток равен прежнему неизменному числу силовых линий, пронизывающий замкнутую поверхность.

Поток вектора напряжённости, через произвольную замкнутую поверхность, не охватывающую электрический заряд, равен нулю (рис. 2.5, 3).

Этот вывод также легко понять, так как число силовых линий втекающих в гауссову поверхность, равно числу линий, покидающих её. Поэтому суммарный поток через эту поверхность равен нулю.

Теперь можно обратиться к рассмотрению общего случая: пусть произвольная замкнутая поверхность S охватываетN точечных зарядов (рис. 2.6.). Вычислим поток вектора напряжённости суммарного поля через эту поверхностьS, учтя, что в соответствии с принципом суперпозиции результирующее поле равно векторной сумме отдельных полей

Рис. 2.6.

Итак, воспользовавшись определением потока, вычислим его через произвольную замкнутую поверхность S .

(2.9)

Полученный результат является доказательством справедливости теоремы Гаусса: поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме через любую замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности .

1. Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.

Пусть сферическая поверхность радиуса R (рис. 13.7) несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность заряда в любой точке сферы будет одинакова.

2. Электростатическое поле шара.

Пусть имеем шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью.

В любой точке А, лежащей вне шара на расстоянии r от его центра (r>R), его поле аналогично полю точечного заряда , расположенного в центре шара. Тогда вне шара

(13.10)

а на его поверхности (r=R)

В точке В, лежащей внутри шара на расстояний r от его центра (r>R), поле определяется лишь зарядом , заключенным внутри сферы радиусом r. Поток вектора напряженности через эту сферу равен

с другой стороны, в соответствии с теоремой Гаусса

Из сопоставления последних выражений следует

где- диэлектрическая проницаемость внутри шара. Зависимость напряженности поля, создаваемого заряженной сферой, от расстояния до центра шара приведена на (рис.13.10)

3. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити (или цилиндра).

Предположим, что полая цилиндрическая поверхность радиуса R заряжена с постоянной линейной плотностью .

Проведем коаксиальную цилиндрическую поверхность радиуса Поток вектора напряженности через эту поверхность

По теореме Гаусса

Из последних двух выражений определяем напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной нитью:

Пусть плоскость имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу площади равен σ. Из законов симметрии следует, что поле направлено всюду перпендикулярно плоскости, и если не существует никаких других внешних зарядов, то поля по обе стороны плоскости должны быть одинаковы. Ограничим часть заряженной плоскости воображаемым цилиндрическим ящиком, таким образом, чтобы ящик рассекался пополам и его образующие были перпендикулярны, а два основания, имеющие площадь S каждое, параллельны заряженной плоскости (рис 1.10).

Суммарный поток вектора; напряженности равен вектору , умноженному на площадь S первого основания, плюс поток вектора через противоположное основание. Поток напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, т.к. линии напряженности их не пересекают. Таким образом, С другой стороны по теореме Гаусса

Следовательно

но тогда напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости будет равна

Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакууме. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ΔS . Произведение модуля вектора на площадь ΔS и на косинус угла α между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ΔS (рис. 1.3.1):

Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность S . Если разбить эту поверхность на малые площадки ΔS i , определить элементарные потоки ΔΦi поля через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис. 1.3.2):

В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль .

Теорема Гаусса утверждает:

Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε 0 .

Для доказательства рассмотрим сначала сферическую поверхность S , в центре которой находится точечный заряд q . Электрическое поле в любой точке сферы перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю

где R – радиус сферы. Поток Φ через сферическую поверхность будет равен произведению E на площадь сферы 4πR 2 . Следовательно,

Окружим теперь точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью S и рассмотрим вспомогательную сферу радиуса R 0 (рис. 1.3.3).

Рассмотрим конус с малым телесным углом ΔΩ при вершине. Этот конус выделит на сфере малую площадку ΔS 0 , а на поверхности S – площадку ΔS . Элементарные потоки ΔΦ 0 и ΔΦ через эти площадки одинаковы. Действительно,

Здесь ΔS’ = ΔS cos α – площадка, выделяемая конусом с телесным углом ΔΩ на поверхности сферы радиуса n .

Так как , a , следовательно Отсюда следует, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку Φ 0 через поверхность вспомогательной сферы:

Аналогичным образом можно показать, что, если замкнутая поверхность S не охватывает точечного заряда q , то поток Φ = 0. Такой случай изображен на рис. 1.3.2. Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Внутри поверхности S зарядов нет, поэтому в этой области силовые линии не обрываются и не зарождаются.

Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов вытекает из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов можно представить как векторную сумму электрических полей точечных зарядов. Поток Φ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность S будет складываться из потоков Φi электрических полей отдельных зарядов. Если заряд q i оказался внутри поверхности S , то он дает вклад в поток, равный если же этот заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его электрического поля в поток будет равен нулю.

Таким образом, теорема Гаусса доказана.

Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой закона Кулона.

Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.

Примером может служить задача о вычислении поля тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра радиуса R . Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Поэтому для применения теоремы Гаусса целесообразно выбрать замкнутую поверхность S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l , закрытого с обоих торцов (рис. 1.3.4).

При r ≥ R весь поток вектора напряженности будет проходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна 2πrl , так как поток через оба основания равен нулю. Применение теоремы Гаусса дает:

Этот результат не зависит от радиуса R заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю длинной однородно заряженной нити.

Для определения напряженности поля внутри заряженного цилиндра нужно построить замкнутую поверхность для случая r < R . В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl . Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

Аналогичным образом можно применить теорему Гаусса для определения электрического поля в ряде других случаев, когда распределение зарядов обладает какой-либо симметрией, например, симметрией относительно центра, плоскости или оси. В каждом из таких случаев нужно выбирать замкнутую гауссову поверхность целесообразной формы. Например, в случае центральной симметрии гауссову поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии. При осевой симметрии замкнутую поверхность нужно выбирать в виде соосного цилиндра, замкнутого с обоих торцов (как в рассмотренном выше примере). Если распределение зарядов не обладает какой-либо симметрией и общую структуру электрического поля угадать невозможно, применение теоремы Гаусса не может упростить задачу определения напряженности поля.

Рассмотрим еще один пример симметричного распределения зарядов – определение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 1.3.5).

В этом случае гауссову поверхность S целесообразно выбрать в виде цилиндра некоторой длины, закрытого с обоих торцов. Ось цилиндра направлена перпендикулярно заряженной плоскости, а его торцы расположены на одинаковом расстоянии от нее. В силу симметрии поле равномерно заряженной плоскости должно быть везде направлено по нормали. Применение теоремы Гаусса дает:

где σ – поверхностная плотность заряда , т. е. заряд, приходящийся на единицу площади.

Полученное выражение для электрического поля однородно заряженной плоскости применимо и в случае плоских заряженных площадок конечного размера. В этом случае расстояние от точки, в которой определяется напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значительно меньше размеров площадки.

Строгий вывод теоремы Остроградского – Гаусса довольно сложен, мы сделаем ее вывод для частного случая, который достаточно убедительно поддается обобщению. Теорема Остроградского – Гаусса позволяет определить поток вектора напряженности от любого количества зарядов. Для начала определим поток вектора напряженности через шаровую поверхность, в центре которой будет располагаться точечный заряд.

Отсюда следует, что из каждого точечного заряда выходит поток вектора напряженности, который равен значению q/εε 0 . Из обобщения данного положения выводится теорема Остроградского – Гаусса для общего случая – полный поток вектора напряженности через замкнутую произвольной формы поверхность равен алгебраической сумме электрических зарядов, заключенных внутри этой поверхности, поделенной на абсолютную диэлектрическую проницаемость ε а = εε 0 , то есть:

Где: n – количество зарядов, q i – заряд, заточенный внутри поверхности.

В системе Гаусса данное уравнения будет иметь вид:

Для потока вектора электрического смещения N D (вектора индукции) можно получить аналогичную формулу:

То есть, поток индукции через замкнутую произвольную поверхность равен алгебраической сумме электрических зарядов, которые охватываются этой поверхностью.

Если взять какую-то замкнутую поверхность, которая не охватывает заряд q, то каждая линия напряженности (или индукции) будет пересекать ее дважды – один раз она войдет в поверхность, а другой раз выйдет из нее. Из – за этого явления алгебраическая сумма линий индукции, проходящих через замкнутую поверхность, количество которых определяет полный поток индукции N D через эту поверхность будет равна нулю (N D = 0).

Прежде чем рассмотреть несколько частных случаев применения теоремы Остроградского – Гаусса для определения напряженностей различных электростатических полей, введем понятие о плотности зарядов.

– это физическая величина, которая характеризует распределение заряда вдоль линии (нити) или тонкого цилиндрического тела и численно равная отношению заряда к длине элемента нити:

А при равномерном распределении заряда по всей длине линейная плотность:

В СИ единицей измерения линейной плотности заряда τ будет 1 Кл/м.

Если заряд dq распределен по какому-то объему dV, то очевидно, что объемная плотность заряда будет численно равна соотношению заряда к элементу объема:

А при равномерном распределении заряда:

В системе СИ измеряется в 1 Кл/м 3 .

В случаях, когда заряд dq распределяется по поверхности dS и глубина его проникновения пренебрежительно мала, то поверхностная плотность заряда будет определена соотношением:

А в случае если заряд q по площади S распределен равномерно, то:

В системе СИ поверхностная плотность измеряется в Кл/м 2 .

Давайте вычислим , которое создано равномерно заряженной сферической поверхностью.

Предположим, что сферическая поверхность имеет радиус R и равномерно распределенный заряд q, то есть поверхностная плотность σ в любой точке сферы будет одинакова.

Выберем точку А, которая находится от центра сферы на расстоянии r (рисунок ниже):

Через точку А мысленно проведем новую сферическую поверхность S, симметричную заряженной сфере.

В данном случае через поверхность S поток вектора напряженности будет равен:

По теореме Гаусса N E = q/εε 0 . Отсюда следует, что при r>R:

Если сравнить данное соотношение с формулой напряженности поля точечного заряда, можно сделать вывод, что вне заряженной сферы напряженность поля такова, как если бы весь имеющийся заряд сферы был сосредоточен в ее центре.

Для точек, которые находятся на поверхности заряженной сферы с имеющимся радиусом R, по аналогии с уравнением (7) можно записать:

Если провести через точку В, которая находится внутри сферической заряженной поверхности, сферу S / с радиусом r /

Теперь давайте попытаемся определить напряженность поля, созданного равномерно заряженной нитью (цилиндром) бесконечной длины .

Предположим, что полая цилиндрическая поверхность с определенным радиусом R заряжена с постоянной поверхностной плотностью σ. Проведем коаксильную поверхность цилиндрического типа с радиусом r>R.

Через эту поверхность поток вектора напряженности будет равен:

По теореме Гаусса:

Приравняв правые части этих уравнений получим:

Из формулы (4а) находим, что линейная плотность заряда цилиндра равна:

Использовав это равенство, найдем:

Теперь давайте определим напряженность поля, которое создается равномерно заряженной бесконечной плоскостью.

Если предположить, что данная плоскость имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу плоскости равен σ. Из законов симметрии следует вывод, что поле направлено всюду перпендикулярно плоскости, и если не существует никаких других внешних зарядов, то одинаковыми по своей величине должны быть поля по обе стороны плоскости.

Если ограничить часть заряженной плоскости 1 воображаемым прямоугольным ящиком 2 (Гауссова поверхность) таким образом, чтобы ящик был рассечен пополам (рисунок ниже).

Обе грани ящика, которые имеют определенную площадь S, должны быть расположены параллельно заряженной плоскости. Вектору Е равен суммарный поток вектора напряженности, умноженному на площадь первой грани S, плюс поток вектора Е через противоположную грань. Через остальные грани поток напряженности будет равен нулю, так как их не пересекают линии напряженности.

Повторив предыдущие рассуждения и применив теорему Остроградского – Гаусса, получим следующее выражение:

Но Е = Е 1 = Е 2 . В таком случае напряженность поля бесконечной равномерной плоскости будет равна:

Координаты точки, в которой определяется напряженность поля, не входят в формулу (12). Отсюда следует вывод, что в бесконечной равномерно заряженной плоскости электростатическое поле будет однородным, а его напряженность в любой точке поля одинакова.

И, наконец, давайте определим напряженность поля, которое создается двумя бесконечными параллельными плоскостями, с одинаковыми плотностями и разноизменно заряженными.

Из рисунка выше видно, что между двумя бесконечными параллельными плоскостями, имеющими поверхностные плотности зарядов –σ и +σ, напряженность поля равна сумме напряженностей полей, которые создаются обеими пластинами, то есть:

Векторы Е вне пластин направлены противоположно друг другу и взаимно уничтожаются. Поэтому напряженность электрического поля в пространстве, которое окружает пластины, будет равно нулю (Е = 0).

Теорема Гаусса устанавливает точное соотношение между потоком напряженности электрического поля через замкнутую поверхность и суммарным зарядом Q внутри этой поверхности:

где ε 0 - та же константа (электрическая постоянная), что и в законе Кулона.
Подчеркнем, что Q - это заряд, заключенный внутри той поверхности, по которой берется интеграл в левой части. При этом не существенно, как именно распределен заряд внутри поверхности; заряды вне поверхности не учитываются. (Внешний заряд может повлиять на расположение силовых линий, но не на алгебраическую сумму линий, входящих внутрь поверхности и выходящих наружу.

Прежде чем переходить к обсуждению теоремы Гаусса, заметим, что интеграл по поверхности на практике не всегда легко вычисляется, однако необходимость в этом возникает не часто, за исключением самых простых ситуаций, которые мы рассмотрим ниже

Как же связаны между собой теорема Гаусса и закон Кулона? Покажем вначале, что закон Кулона следует из теоремы Гаусса. Рассмотрим уединенный точечный заряд Q . По предположению теорема Гаусса справедлива для произвольной замкнутой поверхности. Выберем поэтому такую поверхность, с которой удобнее всего иметь дело: симметричную поверхность сферы радиусом r , в центре которой находится наш заряд Q (рис. 23.7).

Поскольку сфера (конечно, воображаемая) симметрична относительно заряда, расположенного в ее центре, напряженность электрического поля Е должна иметь одно и то же значение в любой точке сферы; кроме того, вектор Е всюду направлен наружу (или всюду внутрь) параллельно вектору dA элемента поверхности. Тогда равенство

принимает вид

(площадь сферы радиусом r равна 4πr 2). Отсюда находим

В итоге мы получили закон Кулона.

Теперь об обратном. В общем случае теорему Гаусса нельзя вывести из закона Кулона: теорема Гаусса является более общим (и более тонким) утверждением, нежели закон Кулона. Однако для некоторых частных случаев теорему Гаусса удается получить из закона Кулона; мы используем общие рассуждения относительно силовых линий. Рассмотрим для начала уединенный точечный заряд, окруженный сферической поверхностью (рис. 23.7). Согласно закону Кулона, напряженность электрического поля в точке на поверхности сферы равна

Е = (1 /4πε 0)(Q/r)

Проделав в обратном порядке аналогичные рассуждения, получим

Это и есть теорема Гаусса, и мы вывели ее для частного случая точечного заряда в центре сферической поверхности. Но что можно сказать о поверхности неправильной формы, например поверхности А 2 на рис. 23.8 . Через эту поверхность проходит то же число силовых линий, что и через сферу А 1 , но поскольку поток напряженности электрического поля через поверхность пропорционален числу проходящих через нее силовых линий, поток через А 2 равен потоку через А 1 .

Следует ожидать поэтому, что формула

справедлива для любой замкнутой поверхности, окружающей точечный заряд.

Рассмотрим, наконец, случай, когда внутри поверхности находится не единственный заряд. Для каждого заряда в отдельности

Но коль скоро полная напряженность электрического поля Е есть сумма напряженностей, обусловленных отдельными зарядами, , то

где - суммарный заряд, заключенный внутри поверхности.
Итак, эти простые рассуждения подсказывают нам, что теорема Гаусса справедлива для любого распределения электрических зарядов внутри любой замкнутой поверхности. Следует иметь в виду, однако, что поле Е не обязательно обусловлено только зарядами Q , которые находятся внутри поверхности. Например, на рис. 23.3 рассмотренном ранее, электрическое поле Е существует во всех точках поверхности, однако оно создается вовсе не зарядом внутри поверхности (здесь Q = 0). Теорема Гаусса справедлива для потока напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность; она утверждает, что если поток, направленный внутрь поверхности, не равен потоку, направленному наружу, то это обусловлено наличием зарядов внутри поверхности.

Теорема Гаусса справедлива для любого векторного поля, обратно пропорционального квадрату расстояния, например, для гравитационного поля. Но для полей другого типа она не будет выполняться. Допустим, например, что поле точечного заряда убывает как kQ/r ; тогда поток через сферу радиусом r определялся бы выражением

Чем больше радиус сферы, тем больше был бы поток, несмотря на то что заряд внутри сферы остается постоянным.

Применения теоремы Гаусса

Теорема Гаусса позволяет выразить связь между электрическим зарядом и напряженностью электрического поля в очень компактной и элегантной форме. С помощью этой теоремы удается легко найти напряженность поля в случае, когда распределение зарядов оказывается достаточно простым и симметричным. При этом, однако, необходимо позаботиться о надлежащем выборе поверхности интегрирования. Обычно стремятся выбрать поверхность так, чтобы напряженность электрического поля Е была постоянна по всей поверхности, или по крайней мере на определенных ее участках.

Чтобы получить эти результаты на основании закона Кулона, нам пришлось бы потрудиться, интегрируя по объему шара. Благодаря использованию теоремы Гаусса и симметрии задачи решение оказалось почти тривиальным. Это демонстрирует огромные возможности теоремы Гаусса. Однако подобное использование этой теоремы ограничено в основном случаями, когда распределение зарядов обладает высокой симметрией. В подобных ситуациях мы выбираем простую поверхность, на которой Е = const , и интеграл берется без труда. Разумеется, теорема Гаусса справедлива для любой поверхности, «простые» поверхности выбираются лишь для облегчения интегрирования.

Заключение

Поток напряженности однородного электрического поля Е через плоскую площадку А равен Ф E = Е А . Если поле неоднородно, то поток определяется интегралом Ф E = ∫Е dA .
Вектор А (или dA ) направлен перпендикулярно площадке А (или dA ); для замкнутой поверхности вектор А направлен наружу. Поток через поверхность пропорционален числу силовых линий, проходящих через эту поверхность.

Теорема Гаусса утверждает, что результирующий поток напряженности электрического поля, проходящий через замкнутую поверхность, равен суммарному заряду внутри поверхности, деленному на ε 0 :

В принципе теорему Гаусса можно использовать для определения напряженности электрического поля, создаваемого заданным распределением зарядов. Однако на практике ее применение ограничено в основном несколькими частными случаями, когда распределение зарядов имеет высокую симметрию. Истинная ценность теоремы Гаусса состоит в том, что она устанавливает в более общем и более элегантном виде, чем закон Кулона, связь между электрическим зарядом и напряженностью электрического поля. Теорема Гаусса является одним из фундаментальных уравнений электромагнитной теории.

Продолжение следует. Коротко о следующей публикации:

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!